توزیع گاما

توزیع گاما یکی از توزیع‌های احتمالی پیوسته است ‫و دارای دو پارامتر مقیاس θ، و پارامتر شکل k می‌باشد. اگر kعددی طبیعی باشد آنگاه توزیع گاما معادل است با مجموع k متغیر تصادفی با توزیع نمایی با پارمتر $\frac{1}{\theta}$ .

تابع چگالی احتمال:

‫که ‫در آن $\Gamma$ تابع گاما، θ پارامتر مقیاس، و k پارامتر شکل ‫می‌باشند.

تابع گاما، انتگرالی همگراست و مقدار آن برابر با عددی مثبت است:

$\Gamma (k)= \int_{0}^{\infty} y^{k-1}.exp(-y)\, dy , k>0.$

ویژگی‌ها

هرگاه k (پارامتر شکل) یک عدد صحیح و مثبت چون n باشد، می‌توان از توزیع گاما برای تخمین زدن مدت‌زمان لازم برای روی‌دادن n پیشامد استفاده نمود.

توزیع مجموع

اگر $X_i\sim\Gamma \left(k_i, \theta \right)$ اگر n متغیر دو به دو مستقل از هم باشند، آنگاه:

در نتیجه توزیع گاما بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.

توزیع‌های مرتبط

هرگاه k=۱ شود، حالت خاصی از توزیع گاما به وجود می‌آید که توزیع نمایی نامیده می‌شود.

پارامترها	$k> 0\,$ ‫شکل (‫حقیقی) ‫مقیاس (‫حقیقی) $\theta> 0 \,$
‫تکیه‌گاه	$x \in [0; \infty)\!$
تابع چگالی احتمال	$x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!$
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!$
میانگین	$k \theta\,\!$
میانه	‫رابطه ساده صریح برای این پارامتر وجود ندارد
مُد	$(k-1) \theta\text{ for }k \geq 1\,\!$
واریانس	$k \theta^2\,\!$
چولگی	$\frac{2}{\sqrt{k}}\,\!$
کشیدگی	$\frac{6}{k}\,\!$
انتروپی	$k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!$ $+ (1-k)\psi(k) \!$
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)	$(1 - \theta\,t)^{-k}\text{ for }t <1/\theta\,\!$
تابع مشخصه	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!$

تابع گاما

تابع گاما تعمیم تابع فاکتوریل است از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی و مختلط و برای یک عدد مختلط با بخش حقیقی مثبت به شکل زیر تعریف می‌شود:

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$

در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:

$\Gamma(z) = (z-1)!\,$

همچنین می‌توان ثابت کرد که:

$\Gamma(z+1) = z.\Gamma(z) = z.(z-1)!\,$

پارامتر مقیاس

اگر بتوان یک خانواده از توزیع‌های احتمالی را به کمک پارامتر s به شکل زیر نوشت:

$f_s(x) = f(x/s)/s \!$

‫آنگاه پارامتر s را پارامتر ‫مقیاس گویند.

پارامتر شکل

در علم آمار و احتمالات پارامتر شکل به پارامتری گفته می‌شود که با تغییر آن، شکل تابع توزیع احتمالی تغییر می‌نماید (مقایسه نمایید با ‫‫پارامتر ‫مکان و ‫‫پارامتر ‫مقیاس) . بطور مثال توابع توزیع احتمالی زیر دارای پارامتر شکل می‌باشند:

توزیع ارلانگ
توزیع بر
توزیع بتا
توزیع توانی نمایی
توزیع گاما
توزیع مقدار نهایی تعمیم‌یافته
توزیع پارتو
توزیع پیرسون
توزیع وایبول

پارامتر مکان

اگر بتوانیم یک خانواده از توزیع‌های احتمالی را به کمک پارامتر k به شکل زیر بنویسیم:

$f_k(x) = f(x-k) \!$

‫آنگاه پارامتر k را پارامتر ‫مکان گوییم.

توزیع گاما

ویژگی‌ها

توزیع مجموع

توزیع‌های مرتبط

تابع گاما

پارامتر مقیاس

پارامتر شکل

پارامتر مکان

مطالب مشابه :

روش آزمون توزیع نرمال کولموگراف در SPSS

توزیع گاما

صد نکته از آمار و احتمال مقدماتی

کل آمار مقدماتی در یک صفحه

100 نکته آماری

آموزش احتمال

بررسی نرمال‌بودن توزیع٬ آزمون کولوموگراف-اسمیرنوف

صد نکته از آمار و احتمال مقدماتی

توزیع گاما

آموزش مطلب / متلب / Matlab