انواع تابع

ساختمان یک تابع توابع را از جهات مختلفی می‌توان مورد بررسی قرار دارد، مثلا می‌توان زوج یا فرد بودن ، جبری یا مثلثاتی بودن – متناوب یا نامتناوب بودن ، پیوسته یا ناپیوسته بودن و بسیاری از موارد دیگر که در این مجال نمی‌گنجد وجود دارد که می‌شود راجع به آنها در مورد توابع بحث نمود در این مقاله به تعدادی از این بحثها به اجمال خواهیم پرداخت:
توابع زوج و فرد

برای شناسایی یک تابع زوج از روی نمودار می‌توان گفت توابع زوج نسبت به محورY ها متقارن هستند. و از روی خاصیت جبری می‌شود این گونه توصیف کرد که اگر را یک تابع زوج در نظر بگیریم برای آن به ازای هر Xکه عنصر دامنه باشد: مثل توابع و که برای آنها و .,

برای شناسایی تابع فرد از روی نمودار می‌توان گفت توابع فرد نسبت به که مبدأ مختصات متقارن هستند. در مورد خواص جبری ، برای توابع فرد این خاصیت جبری حاکم است, که و یا که در آنها داریم: ,

نکته: نمودار معادلاتی که صرفا شامل توانهای زوج باشد و نسبت به محور ها متقارن هستند را توابع زوج می‌گوئیم، اما قاعده متناظری برای توان فرد وجود ندارد.

توابع متناوب
تابعF را متناوب گوییم هرگاه برای هر عضو دامنه آن مقداری ثابت و حقیقی مانندیافت شود؛ به قسمی که اولاX+T عضو آن دامنه و ثانیا باشد.T را یک دوره تناوب تابع می‌گوئیم. به سادگی می‌توان دریافت که دوره تناوب یک تابع متناوب منحصر به فرد نیست. برای مثال تابع که Rتعریف شده است همه با دوره تناوب متناوب است هم با دوره تناوب ، زیرا:

خاصیت هندسی توابع متناوب
با توجه به تساوی نتیجه می‌گیریم که نمودار تابع متناوب در صورت جابجایی به یک بردار انتقال به اندازه Tدر هر جهت تغییر نمی‌کند.
یک به یک و پوشا بودن یک تابع
به طور کلی تابعی چون را یک به یک گوئیم هرگاه به ازای هر عضوی از دامنه فقط و فقط یک عضو منحصر به فرد از برد ، جواب تابع باشد. و اگر بخواهیم از روی شکل تشخیص بدهیم، به ازای هر خط موازی محورX ها ، خط رسم شده نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. مثل نمودار .
تعریف پوشا بودن
تابعی مثل را روی دامنه‌اش پوشا می‌گوئیم هرگاه به ازای هر عضو از دامنه جوابی از برد موجود باشد. و برای تشخیص از روی نمودار ، به ازای هر خط موازی محصور Xها ، تابع حداقل در یک نقطه قطع شود. البته دقت می‌کنیم که به ازای دو خط رسم شده باید خاصیت فوق ، برقرار باشد.
تابع قدر مطلق
قدر مطلق عددی مانند X، عدد است. اگXر مثبت باشد، قدر مطلق آن همان Xاست ، ولی اگر Xمنفی باشد، قدر مطلق آن X- است. اگر صفر باشد ، قدر مطلقش صفر است. نماد قدر مطلق X به صورت است. اگر دقت کنید تابع قدر مطلق متشکل از خطوط و که به ترتیب برای و انتخاب شده است، یعنی از خط قسمتی کهX های آن مثبت هستند و از خط قسمتهایی کهX های آن منفی هستند را انتخاب می‌کند.
تابع بزرگترین عدد صحیح یا جزء صحیح
بزرگترین عدد صحیحی که نابیشتر از عددی چون Xباشد، بزرگترین عدد صحیح موجود درX نامیده می‌شود نماد آن است. تابعی مثل دارای دامنه و برد اعداد صحیح است. تابع جز صحیح یک تابع پله‌ای است. مدل بسیاری از چیزهایی که در اطراف خود می‌بینیم می‌توانیم به صورت پله‌ای در نظر گرفت، مثلا هزینه پست کردن بسته به صورت تابعی از وزن ، عملکرد چراغ چشمک زن به صورت تابعی از زمان ، تابع پله‌ای دارای نقاط ناپیوستگی هستند، یعنی که در آنها تابع از مقداری به مقدار دیگر می‌جهد بدون اینکه هیچ یک از مقادیر میانی را انتخاب کند.
تابع همانی
تابع همانی تابعی است که به هر عدد همان عدد را نسبت می‌دهد. یکی از کاربردهای تابع همانی ، آزمون توابع معکوس می‌باشد. به این ترتیب که اگر معکوس باشد ترکیب آنها تابع همانی خواهد بود.
توابع مثلثاتی
بسیاری از پدیده‌های طبیعی متناوب هستند؛ به این معنا که بعد از دوره معینی از زمان تکرار می‌شوند. چنین پدیده‌هایی را می‌توان به آسانی با توابع سینوسی و کسینوسی بررسی کرد. اگر توابع با آرایش یافته باشد به این دسته از توابع ، توابع مثلثاتی خواهیم گفت. یکی از خاصیتهای توابع مثلثاتی تناوبی بودن آنهاست؛ زیرا مثلا به ازای هر زاویه Xداریم:

توابع چند جمله‌ای
جمله‌ای منفرد به صورت را که در آنC ثابت دلخواه و nعدد صحیح نامنفی است، یک تک جمله‌ای بر حسبX می‌نامند. مجموع تعدادی متناهی تک جمله‌ای بر حسبX یک چند جمله‌ایX نام دارد.

توابع متعالی

امروزه ، تابعی چون را متعالی می‌نامند اگر در معادله به صورت:

که در آن ضرایب: ، و ... و چند جمله‌ایهایی بر حسب X هستند ، صدق نکند. تابعی مثل که یکی از جوابهای است ، یکی از توابع موسوم به توابع متعالی است. نام "متعالی" را اویلر برای توصیف اعدادی انتخاب کرد که ریشه یک معادله چند جمله‌ای نیستند. اویلر می‌گوید که این اعداد متعالی از آنهایی هستند که روشهای جبری در موردشان کارساز باشد".