منطق فازی

کاربرد منطق فازی در تحلیل برنامه های مهندسی

تاریخچه منطق فازی
گرچه در دهه 1970 و اوايل دهه 1980 مخالفان جدی برای نظريه فازی وجود داشت، اما امروزه هيچ کس نمی‌تواند ارزش‌های منطق فازی و کنترل‌های فازی را منکر شود.
افتخار هر ايرانی است که پايه علوم قرن آينده از نظريات يک ايرانی می‌باشد؛ بايد قدر اين فرصت را دانست و در تعميم نظريه فازی و استفاده از آن کوشش و تلاش کرد.
زمينه‌های پژوهش و تحقيق در نظريه فازی بسيار گسترده می‌باشد؛ پژوهشگران علاقه‌مند می‌توانند با پژوهش و تحقيق در اين زمينه باعث رشد و شکوفايی هرچه بيشتر نظريه فازی شوند.
در اين مقاله سعی شده است که خوانندگان محترم با نظريه فازی و تاريخچه آن و کاربرد منطق فازی در علوم مهندسی آشنا شوند و زمينه‌های تحقيق و پژوهش مورد بررسی قرار گيرد.
اميد است که بتوان قدمی هر چند کوچک در جهت تعالی کشور عزيزمان ايران برداريم

تاريخچة مجموعه‌هاي فاز
       نظرية مجموعه فازي در سال 1965 توسط پروفسور لطفي عسگرزاده، دانشمند ايراني‌تبار و استاد دانشگاه بركلي امريكا عرضه شد.
اگر بخواهيم نظريه مجموعه‌هاي فازي را توضيح دهيم، بايد بگوييم نظريه‌اي است براي اقدام در شرايط عدم اطمينان؛ اين نظريه قادر است بسياري از مفاهيم و متغيرها و سيستم‌هايي را كه نادقيق و مبهم هستند، صورت‌بندي رياضي ببخشد و زمينه را براي استدلال، استنتاج، كنترل و تصميم‌گيري در شرايط عدم اطمينان فراهم آورد.
       پرواضح است كه بسياري از تصميمات و اقدامات ما در شرايط عدم اطمينان است و حالت‌هاي واضح غير مبهم، بسيار نادر و كمياب مي‌باشند.
       نظرية مجموعه‌هاي فازي به شاخه‌هاي مختلفي تقسيم شده است كه بحث كامل و جامع در مورد هر شاخه، به زمان بيشتر و مباحث طولاني‌تری احتياج دارد.
در اين مبحث که با انواع شاخه‌هاي فازي و كاربرد آنها آشنا مي‌شويم، تلاش شده است كه مباحث به صورت ساده ارائه شود و مسائل بدون پيچيدگي‌هاي خاص مورد بررسي قرار گيرد.
      همچنين تلاش شده است كه جنبه‌هاي نظري هر بحث تا حد امكان روشن شود؛ گرچه در بسياري موارد به منظور اختصار، از بيان برهان‌ها چشمپوشي شده است و علاقه‌مندان را به منابع ارجاع داده‌ايم. مطالعه اين پژوهش مي‌تواند زمينه‌اي كلي و فراگير دربارة اهم شاخه‌هاي نظريه مجموعه‌هاي فازي فراهم ‌آورد؛ اما علاقه‌مندان مي‌توانند با توجه به نوع و ميزان علاقه و هدف خود، به مراجع اعلام شده، مراجعه نمايند.
تاريخچة مختصري از نظريه و كاربردهاي فازي
دهة 1960 آغاز نظريه فازي
      نظريه فازي به وسيله پروفسور لطفي‌زاده در سال 1965 در مقاله‌اي به نام مجموعه‌هاي فازي معرفي شد.
      ايشان قبل از كار بر روي نظريه فازي، يك استاد برجسته در نظريه كنترل بود. او مفهوم «حالت» را كه اساس نظريه كنترل مدرن را شكل مي‌دهد، توسعه داد.
      عسگرزاده در سال 1962 چيزي را بدين مضمون براي سيستم‌هاي بيولوژيك نوشت: ما اساساً به نوع جديد رياضيات نيازمنديم؛ رياضيات مقادير مبهم يا فازي كه توسط توزيع‌هاي احتمالات قابل توصيف نيستند.
      وی فعاليت خويش در نظريه فازي را در مقاله‌اي با عنوان «مجموعه‌هاي فازي» تجسم بخشيد.
      مباحث بسياری در مورد مجموعه‌هاي فازي به وجود آمد و رياضيدانان معتقد بودند نظريه احتمالات براي حل مسائلي كه نظريه فازي ادعاي حل بهتر آن را دارد، كفايت مي‌كند.
      دهة 1960 دهة چالش كشيدن و انكار نظريه فازي بود و هيچ يك از مراكز تحقيقاتي، نظريه فازي را به عنوان يك زمينه تحقيق جدي نگرفتند.
      اما در دهة 1970، به كاربردهاي عملي نظريه فازي توجه شد و ديدگاه‌هاي شك‌برانگيز درباره ماهيت وجودي نظريه فازي مرتفع شد.
     استاد لطفي‌زاده پس از معرفي مجموعة فازي در سال 1965، مفاهيم الگوريتم فازي را در سال 1968، تصميم‌گيري فازي را در سال 1970 و ترتيب فازي را در سال 1971 ارائه نمود. ايشان در سال 1973 اساس كار كنترل فازي را بنا كرد.
      اين مبحث باعث تولد كنترل‌كننده‌هاي فازي براي سيستم‌هاي واقعي بود؛ ممداني (Mamdani) و آسيليان (Assilian) چهارچوب اوليه‌اي را براي كنترل‌كننده فازي مشخص كردند. در سال 1978 هومبلاد (Holmblad) و اوسترگارد(Ostergaard) اولين كنترل‌كننده فازي را براي كنترل يك فرايند صنعتي به كار بردند كه از اين تاريخ، با كاربرد نظريه فازي در سيستم‌هاي واقعي، ديدگاه شك‌برانگيز درباره ماهيت وجودي اين نظريه كاملاً متزلزل شد.
      دهة 1980 از لحاظ نظری، پيشرفت كندي داشت؛ اما كاربرد كنترل فازي باعث دوام نظريه فازي شد.
      مهندسان ژاپني به سرعت دريافتند كه كنترل‌كننده‌هاي فازي به سهولت قابل طراحي بوده و در مورد بسياري مسائل مي‌توان از آنها استفاده كرد.
      به علت اينكه كنترل فازي به يك مدل رياضي نياز ندارد، مي‌توان آن را در مورد بسياری از سيستم‌هايي كه به وسيلة نظريه كنترل متعارف قابل پياده‌سازي نيستند، به كار برد.
      سوگنو مشغول كار بر روي ربات فازي شد، ماشيني كه از راه دور كنترل می‌شد و خودش به تنهايي عمل پارك را انجام مي‌داد.
       ياشونوبو (Yasunobu) و مياموتو (Miyamoto) از شركت هيتاچي كار روي سيستم كنترل قطار زيرزميني سندايي را آغاز كردند. بالاخره در سال 1987 پروژه به ثمر نشست و يكي از پيشرفته‌ترين سيستم‌هاي قطار زيرزميني را در جهان به وجود آورد.
       در دومين كنفرانس‌ سيستم‌هاي فازي كه در توکيو برگزار شد، درست سه روز بعد از افتتاح قطار زيرزميني سندايي، هيروتا (Hirota) يك روبات فازي را به نمايش گذارد كه پينگ‌پونگ بازي مي‌کرد؛ ياماكاوا (Yamakawa) نيز سيستم فازي را نشان داد كه يك پاندول معكوس را در حالت تعادل نشان مي‌داد. پس از اين كنفرانس، توجه مهندسان، دولتمردان و تجار جلب شد و زمينه‌های پيشرفت نظريه فازي فراهم شد.
دهة 1990 ، توجه محققان امريكا و اروپا به سيستم‌هاي فازي
       موفقيت سيستم‌هاي فازي در ژاپن، مورد توجه محققان امريكا و اروپا واقع شد و ديدگاه بسياري از محققان به سيستم‌هاي فازي تغيير کرد.
       در سال 1992 اولين كنفرانس بين‌المللي در مورد سيستم‌هاي فازي به وسيله بزرگترين سازمان مهندسي يعني IEEE برگزار شد.
       در دهة 1990 پيشرفت‌هاي زيادي در زمينة سيستم‌هاي فازي ايجاد شد؛ اما با وجود شفاف شدن تصوير سيستم‌هاي فازي، هنوز فعاليت‌هاي بسياري بايد انجام شود و بسياري از راه‌حل‌ها و روش‌ها همچنان در ابتداي راه قرار دارد. بنابراين توصيه مي‌شود که محققان كشور با تحقيق و تفحص در اين زمينه، موجبات پيشرفت‌هاي عمده در زمينة نظريه فازي را فراهم نمايند.

زندگينامة پروفسور لطفي‌زاده
       استاد لطفي‌زاده در سال 1921 در باكو متولد شد. آنجا مركز آذربايجان شوروي بود. لطفي‌زاده يك شهروند ايراني بود؛ پدرش يك تاجر و نيز خبرنگار روزنامة ايرانيان بود.
       استاد لطفي‌زاده از 10 تا 23 سالگي در ايران زندگي كرد و به مدرسة مذهبي رفت. خاندان لطفي‌زاده از اشراف و ثروتمندان ايراني بودند كه هميشه ماشين و خدمتكار شخصي داشتند.
       در سال 1942 با درجة کارشناسی مهندسي برق از دانشكده فني دانشگاه تهران فارغ‌التحصيل شد. او در سال 1944 وارد امريكا شد و به دانشگاه MIT رفت و در سال 1946 درجة کارشناسی‌ارشد را در مهندسي برق دريافت كرد. در سال 1951 درجة دكتراي خود را در رشتة مهندسي برق دريافت نمود و به استادان دانشگاه كلمبيا ملحق شد. سپس به دانشگاه بركلي رفته و در سال 1963 رياست دپارتمان مهندسي برق دانشگاه بركلي را كه بالاترين عنوان در رشتة مهندسي برق است، كسب نمود. لطفي‌زاده انساني است كه هميشه موارد مخالف را مورد بررسي قرار داده و به بحث دربارة آن مي‌پردازد. اين خصوصيت، قابليت پيروزی بر مشكلات را به لطفي‌زاده اعطا نموده است.
       در سال 1956 لطفي‌زاده بررسي منطق چند ارزشي و ارائة مقالات تخصصي در مورد اين منطق را آغاز کرد.
        پروفسور لطفي‌زاده از طريق مؤسسة پرينستون با استفن كلين آشنا شد. استفن كلين كسي است كه از طرف مؤسسة پرينستون، منطق چند ارزشي را در ايالات متحده رهبري مي‌كرد. كلين متفكر جوان ايراني را زير بال و پر خود گرفت. آنها هيچ مقاله‌اي با يكديگر ننوشتند، اما تحت تأثير يكديگر قرار داشتند.
       لطفي‌زاده اصول منطق و رياضي منطق چند ارزشي را فرا گرفت و به كلين اساس مهندسي برق و نظرية اطلاعات را آموخت.
وی پس از آشنايي با پرينستون، شيفتة منطق چند ارزشي شد.
       در سال 1962 لطفي‌زاده تغييرات مهم و اصلي را در مقالة «از نظرية مدار به نظرية سيستم» در مجلة IRE كه يكي از بهترين مجله‌هاي مهندسي آن روز بود، منتشر ساخت. در اينجا براي اولين بار عبارت فازي را براي چند ارزشي پيشنهاد داد.
       لطفي‌زاده پس از ارائة منطق فازي، در تمام دهة 1970 و دهة 1980 به منتقدان خود در مورد اين منطق پاسخ مي‌داد. متانت، حوصله و صبوري استاد در برخورد با انتقادات و منتقدان منطق فازي از خود بروز مي‌داد، در رشد و نمو منطق فازي بسيار مؤثر بوده است، به طوری که رشد كاربردهاي كنترل فازي و منطق فازي در سيستم‌هاي كنترل را مديون تلاش و كوشش پروفسور لطفي‌زاده مي‌دانند و هرگز جهانيان تلاش اين بزرگ‌مرد اسطوره‌اي ايراني را فراموش نخواهند كرد.
تعريف سيستم‌هاي فازي و انواع آن
       واژة فازي در فرهنگ لغت آكسفورد به صورت مبهم، گنگ و نادقيق تعريف شده است. اگر بخواهيم نظرية مجموعه‌هاي فازي را تعريف كنيم، بايد بگوييم که نظريه‌اي است براي اقدام در شرايط عدم اطمينان؛ اين نظريه قادر است بسياري از مفاهيم و متغير‌ها و سيستم‌هايي را كه نادقيق هستند، صورت‌بندي رياضي ببخشد و زمينه را براي استدلال، استنتاج، كنترل و تصميم‌گيري در شرايط عدم اطمينان فراهم آورد.
چرا سيستم‌هاي فازي:
دنياي واقعي ما بسيار پيچيده‌تر از آن است كه بتوان يك توصيف و تعريف دقيق براي آن به دست آورد؛ بنابراين بايد براي يك مدل، توصيف تقريبي يا همان فازي كه قابل قبول و قابل تجزيه و تحليل باشد معرفي شود.
با حركت به سوي عصر اطلاعات، دانش و معرفت بشري بسيار اهميت پيدا مي‌كند. بنابراين ما به فرضيه‌اي نياز داريم كه بتواند دانش بشري را به شكلي سيستماتيك فرموله كرده و آن را به همراه ساير مدل‌هاي رياضي در سيستم‌هاي مهندسي قرار دهد.
سيستم‌هاي فازي چگونه سيستم‌هايي هستند؟
      سيستم‌هاي فازي، سيستم‌هاي مبتني بر دانش يا قواعد مي‌باشند؛ قلب يك سيستم فازي يك پايگاه دانش است كه از قواعد اگر ـ آنگاه فازي تشكيل شده است.
يك قاعده اگر ـ آنگاه فازي، يك عبارت اگر ـ آنگاه است كه بعضي كلمات آن به وسيله توابع تعلق پيوسته مشخص شده‌اند.
مثال:
اگر سرعت خودرو بالاست، آنگاه نيروي كمتري به پدال گاز وارد كنيد.
كلمات «بالا» و «كم» به وسيله توابع تعلق مشخص شده‌اند؛ توضيحات كامل در شکل ارائه شده است.
مثال 1-1:
       فرض كنيد مي‌خواهيم كنترل‌كنند‌ه‌اي طراحي كنيم كه سرعت خودرو را به طور خودكار كنترل كند. راه‌حل اين است كه رفتار رانندگان را شبيه‌سازي كنيم؛ بدين معني كه قواعدي را كه راننده در حين حركت استفاده مي‌كند، به كنترل‌كنندة خودكار تبديل نماييم.
در صحبت‌هاي عاميانه راننده‌ها در شرايط طبيعي از 3 قاعده زير در حين رانندگي استفاده مي‌كنند:
اگر سرعت پايين است، آنگاه نيروي بيشتري به پدال گاز وارد كنيد.
اگر سرعت متوسط است، آنگاه نيروي متعادلي به پدال گاز وارد كنيد.
اگر سرعت بالاست، آنگاه نيروي كمتري به پدال گاز وارد كنيد.

     به طور خلاصه، نقطة شروع ساخت يك سيستم فازي به دست آوردن مجموعه‌اي از قواعد اگر ـ آنگاه فازي از دانش افراد خبره يا دانش حوزه مورد بررسي مي‌باشد؛ مرحلة بعدي، تركيب اين قواعد در يك سيستم واحد است.

انواع سيستم‌هاي فازي
سيستم‌هاي فازي خالص
سيستم‌هاي فازي تاكاگي ـ سوگنوكانگ (TSK)
سيستم‌هاي با فازي‌ساز و غير فازي‌ساز
سيستم فازي خالص
       موتور استنتاج فازي، اين قواعد را به يك نگاشت از مجموعه‌هاي فازي در فضاي ورودي به مجموعه‌هاي فازي و در فضاي خروجي بر اساس اصول منطق فازي تركيب مي‌كند.
       مشكل اصلي در رابطه با سيستم‌هاي فازي خالص اين است كه ورودي‌ها و خروجي‌هاي آن مجموعه‌هاي فازي مي‌باشند. درحالي كه در سيستم‌هاي مهندسي، ورودي‌ها و خروجي‌ها متغيرهايي با مقادير حقيقي مي‌باشند.
       براي حل اين مشكل، تاكاگي سوگنو و كانگ، نوع ديگري از سيستم‌هاي فازي معرفي كرده‌اند كه ورودي‌ها و خروجي‌هاي آن متغيرهايي با مقادير واقعي هستند.

سيستم فازي تاكاگي ـ سوگنو و كانگ
       بدين ترتيب قاعده فازي از يك عبارت توصيفي با مقادير زباني، به يك رابطة ساده تبديل شده است؛ به طور مثال در مورد خودرو مي‌توان اعلام كرد كه اگر سرعت خودرو X باشد، آنگاه نيروي وارد بر پدال گاز برابر Y=CX مي‌باشد.
مشكلات عمدة سيستم فازي TSK عبارت است از:
بخش «آنگاه» قاعدة يك فرمول رياضي بوده و بنابراين چهارچوبي را براي نمايش دانش بشري فراهم نمي‌كند.
اين سيستم دست ما را براي اعمال اصول مختلف منطق فازي باز نمي‌گذارد و در نتيجه انعطاف‌پذيري سيستم‌هاي فازي در اين ساختار وجود ندارد.
براي حل اين مشكلات نوع سومي از سيستم‌هاي فازي يعني سيستم فازي با فازي‌سازها و غير فازي‌سازها مورد استفاده قرار گرفت.

سيستم‌هاي فازي با فازي‌ساز و غير فازي ساز
اين سيستم فازي معايب سيستم فازي خالص و سيستم فازي TSK را مي‌پوشاند. در اين مبحث، از اين پس سيستم فازي با فازي ساز و غير فازي‌ساز منظور خواهد بود.
به عنوان نتيجه‌گيري براي اين بخش لازم است يادآوري شود كه جنبة متمم نظريه سيستم‌هاي فازي اين است كه يك فرايند سيستماتيك را براي تبديل يك پايگاه دانش به يك نگاشت غير فعلي فراهم مي‌سازد.
زمينه‌هاي تحقيق عمده در نظريه فازي
      منظور از نظريه فازي، تمام نظريه‌هايي است كه از مفاهيم اساسي مجموعه‌هاي فازي يا توابع تعلق استفاده مي‌كنند.
مطابق شكل، نظريه فازي را می‌توان به پنج شاخة عمده تقسيم كرد كه عبارتند از:
رياضيات فازي
مفاهيم رياضيات كلاسيك، با جايگزيني مجموعه‌هاي فازي با مجموعه‌هاي كلاسيك توسعه پيدا كرده است.

منطق فازي و هوش مصنوعي
كه در آن منطق كلاسيك تقريب‌هايي يافته و سيستم‌هاي خبره بر اساس اطلاعات و استنتاج تقريبي توسعه پيدا كرده است.
سيستم‌هاي فازي
سيستم‌هاي فازي كه شامل كنترل فازي و راه‌حل‌هايي در زمينة پردازش سيگنال و مخابرات مي‌باشد.
عدم قطعيت و اطلاعات
انواع عدم قطعيت‌ها را مورد تجزيه و تحليل قرار مي‌دهد.
تصميم‌گيري فازي
مسائل بهينه‌سازي را با محدوديت‌ها در نظر مي‌گيرد.
منطق فازی و کاربردهای آن در پیاده سازی کنترلر فازی
در اولین نگاه به اطراف خود به سادگی می توانید مجموعه ای از این دستگاه ها و لوازم را در خانه و محل کار خود بیابید. بله، مخترع منطق نوین علمی که جهان صنعت را دگرگون کرد و در کنار منطق دیجیتالی در ساختمان دستگاه های الکترونیکی، "منطق فازی" را به دنیا عرضه نمود، کسی نیست جز پروفسور لطفی زاده.
منطق فازی تعمیمی از منطق دو ارزشی متداول است و درحالیکه در منطق دودویی جایی برای واژه هایی همچون "کم"، "زیاد"،"اندکی"،"بسیار" و... که پایه های اندیشه واستدلالهای معمولی انسان را تشکیل می دهند وجود ندارد، روش پروفسور زاده برمبنای بکارگیری همین عبارات زبانی است.بعنوان مثال، مساله رعایت فاصله با خودروی جلویی در هنگام رانندگی را در نظر می گیریم. جهت تنظیم این فاصله هنگام مواجه شدن با خودروی روبرو "اگر جاده لغزنده باشد ، باید فاصله را زیاد می کنیم" و " اگر سرعت خوردرو کم باشد ، می توانیم فاصله را کم می کنیم" و "اگر هوا تاریک باشد ، فاصله را زیاد می کنیم" که غالبا به هنگام رانندگی امکان اندازه گیری دقیق میزان سرعت خودرو ، تاریکی جاده ، لغزندگی جاده و نظیر آن به منظور محاسبه مقادیر فاصله مطلوب وجود ندارد ، درنتیجه جهت طراحی سیستم ترمز موثر خودرو بر پایه منطق فازی، عباراتی مثل تاریکی کم یا زیاد ، سرعت کم یا زیاد ولغزندگی کم یا زیاد و... را بعنوان متغیرهای ورودی و عباراتی همچون " فاصله کم یا زیاد" را مشابه آنچه در مغز انسان برای تصمیم گیری رخ می دهد را بعنوان متغیر خروجی بکار می بندیم.
امروزه هیچ دستگاه الکترونیکی، از جمله وسایل خانگی، بدون کاربرد این منطق در ساختار فنی خود ساخته نمی شود. با منطق فازی پروفسور لطفی زاده این دستگاه ها هوشمند می شوند. امروزه اروپایی ها، ژاپنی ها و آمریکایی ها و همه و همه ی کشورهای پیشرو در علم و صنعت، پروفسور لطفی زاده را می شناسند و از اهمیت کار او در دانش مدرن بشری آگاهند.
بر خلاف آموزش سنتی در ریاضی، پروفسور "زاده" در سال 1965 منطق انسانی و زبان طبیعت را وارد ریاضی کرد. شاید بتوان با دو رنگ سیاه و سفید مثال بهتری ارائه داد. اگر در ریاضی، دو رنگ سیاه و سفید را صفر و یک تصور کنیم، منطق ریاضی، طیفی به جز این دو رنگ سفید و سیاه نمی بیند و نمی شناسد. ولی در مجموعه های نامعین منطق فازی، بین سیاه و سفید مجموعه ای از طیف های خاکستری هم لحاظ می شود و به این طریق فصل مشترک ساده ای بین انسان و کامپیوتر بوجود می آید.
این منطق حدود چهل سال پیش در آمریکا توسط لطفی زاده پایه ریزی شد و برای اولین بار در سال 1974 در اروپا برای تنظیم دستگاه تولید بخار در یک نیروگاه، کاربرد عملی پیدا کرد. با پیشرفت چشمگیر ژاپن در عرضه وسایل الکترونیکی، در سال 1990 کلمه "فازی" در آن کشور به عنوان "کلمه سال" شناخته شد.
بسط و گسترش منطق فازی و تئوری مجموعه های فازی بدلیل ابهام و عدم قطعیتی بوده که در مسائل پیرامون ما وجود دارد و به همین جهت در منطق فازی (علی رغم منطق دو ارزشی) گستره ای از ارزشها تعریف شده است تا ما قادر باشیم احساسات و تفکراتمان را بدون ابهام به مخاطبان خود انتقال دهیم .بدون اغراق زندگی روزمره ما آمیخته با مفهوم فازی است ، یعنی بطور ناخودآگاه از عباراتی استفاده می کنیم که برای مخاطب دقیقا مشخص نیست. . بعبارت ساده تر، مفهوم کلمه یا عبارت به تنهایی ممکن است واضح و روشن باشد ، اما زمانیکه از آن بعنوان معیاری در تعیین اعضای یک مجموعه ریاضی استفاده می شود ، شاید نتوان بطور قاطع شیء را به آن نسبت داد و بالعکس.
با این اوصاف :
الف)ما تا چه حد قادریم احساسات و تفکراتمان را بدون ابهام به مخاطبان خود انتقال دهیم و تا چه حد آن چیزی که بیان می کنیم دقیقا همان خواسته ذهنی ما بوده است؟
ب)چقدر درک مخاطب از جمله ما ، با آنچه که مقصود ما بوده همخوانی داشته است؟
این دو سوال 2 مفهوم متفاوت و درعین حال اساسی در مبحث فازی را بیان می کنند. بطور کلی برای برقراری ارتباط با محیط اطراف ، ما از یک "زبان طبیعی" استفاده می کنیم و از آنجاکه قدرت تفکر همواره فراتر از توان پیاده سازی آن با یک زبان است برای بسیاری از مفاهیم ذهنی معادل دقیقی در دامنه لغات زبان وجود ندارد.
برای سوال دوم هم باید گفت که عوامل مختلفی در برداشت و درک افراد از یک مفهوم مشخص اثرگذار است .فرضا در عبارت "هوای سرد" با توجه به مکان زندگی ، فرهنگ ، حساسیت فرد به سرما و... تعابیر مختلفی برای فرد از عبارت "سردی" قابل تعریف است که لزوما با شخص دیگر در مکان دیگر برابر نیست، زیرا سردی هوا از نظر افراد مختلف داری درجات متفاوتی است.کسی که در قطب زندگی می کند دمای 15- را سرد می داند درحالیکه برای فرد ساکن استوا دمای 5+ درجه هم ممکن است سرد تلقی شود. این تفاوت درک افراد ازیک موضوع یکسان چگونه قابل توجیه است؟
برای پاسخ به این سوال ابتدا باید مفهوم و جایگاه واژه "سردی" در دنیای پیرامون ما تعریف و مشخص شود .این نکته همان چیزی است که پروفسور زاده در سال 1973 تحت عنوان متغیرهای زبانی به آن اشاره کرد، متغیرهایی که عدد نیستند بلکه مقادیرآنها حروف و لغات هستند و با مدلسازی مجموعه ای برای متغیر زبانی "سردی" (در واقع تئوری مجموعه های فازی) سعی در توصیف آن نموده و به هرکدام از دماهای مختلف (x) ، یک "درجه عضویت"(µ) نسبت می دهیم که بیان کننده میزان تعلق آن عضو به مجموعه است و بین بازه بسته 0 و 1 متغیر است:
µ Є [0,1] → U

در نتیجه در تئوری مجموعه فازی A در مجموعه مرجع U بصورت زوج مرتب زیر است:
A = { (x,µ(x))|xЄ A}
یعنی دیگر نمیتوان بطوردقیق عنصری از U را به مجموعه A نسبت داد و چون مرزی که در انتساب اعضا به وجود می آید(به دلیل درک مختلف افراد از آن عبارت ) حالت غیر قطعی و غیر دقیق به خود می گیرد. توابع عضویت در تعیین درجات عضویت نقشی اساسی ایفا می کنند .برای مثال برای مجموعه فازی با عنوان "سردی" دمای 10- با درجه 0.8 به این مجموعه تخصیص می یابد در حالیکه دمای 5+ دارای درجه عضویت 0.4 در این مجموعه است.با توجه به این درجه عضویتها می توان فهمید دمای 10- سردتر از 5+ است زیرا میزان تعلق آن به مجموعه فازی "سردی" بیشتر است.
همانند مجموعه های کلاسیک، اگر درجه عضویت عنصری به مجموعه فازی صفر باشد ، آن عنصر به مجموعه تعلق ندارد و درجه عضویت یک نشان می دهد که عنصر دقیقا عضو مجموعه است.بهر حال در تئوری fuzzyابهام در مفهوم توصیف کننده ها و گزاره های بیان کننده شرائط سیستم وجود دارد و توجه کنید که کلیه مباحث ما مربوط به این نوع عدم قطعیت است، بویژه زمانیکه در خصوص تصمیم گیری و یا ارزیابی یک سیستم یا فرآیند تحت کنترل صحبت می کنیم.
به عنوان نمونه عبارت " سال مالی موفق " را در نظر بگیرید. برای بعضی شرکتها ، سال اقتصادی موفق یعنی اینکه نسبت به سال قبل سود بیشتری بدست آورند اما برای برخی دیگر یعنی اینکه از ورشکستگی رهایی یابند! و... در نتیجه عبارت فوق الذکر یک گزاره وابسته به نحوه عملکرد شرکتهای مختلف است وبرخلاف عبارت " سردی هوا" ذاتا لغتی فازی محسوب نمی شود.
بدلیل ماهیت منطق فازی و تئوری مجموعه های فازی ، زمینه های کاربردی گسترده ای در علوم مهندسی و حتی اجتماعی و اقتصادی برای آن بوجود آمده است.یکسری از انجمنهای فعال در زمینه منطق و تکنولوژی فازی عبارتند از :Japan Soceity Fuzzy Theory and Systems(SOFT) ,Laboratory for International Fuzzy Engineering Research(LIFER)
آشنایی با منطق فازی
منطق فازی عبارتست از "استدلال با مجموعه های فازی". پیش از معرفی تئوری منطق فازی توسط پروفسور لطفی زاده در 1965 محققان زیادی به رفع پارادوکسهای موجود در مسائل مطرح شده در علوم مختلف بر اثر محدودیت منطق دوگانه مشغول بودند ، مانند پارادوکس woogerدر علوم زیست شناسی که در آن فرزندان بعضی از حیوانات به تیره خانواده ای متفاوت از والدینشان تعلق دارند ، در حالیکه از نظر ژنتیکی چنین امری ممکن نیست و این موضوع با منطق دوگانه مرسوم سازگاری نداشت.
در این راستا Bertrand Russel ابهام را جزئی از زبان دانست و یا Jan Lukasiewicz منطق سه ارزشی را مطرح کرد که در آن علاوه بر ارزشهای False & True منطق ارزشی possible هم وجود داشت.در منطق فازی به جای دو ارزشی بودن ، ما طیفی از ارزشها را در بازه بسته صفر و یک خواهیم داشت. با این طیف می توان عدم قطعیت را به خوبی نمایش داد . تمایز عمده منطق فازی با منطق چند ارزشی آن است که در منطق فازی مفهوم یک عبارت هم می تواند مبهم باشد(مانند سردی هوا .
در منطق فازی می توانیم جملاتی را که معمولا در محاورات روزانه در تحلیل مسائل استفاده می کنیم از قبیل "کاملا درست است" ،"کم و بیش درست است"، "تا حدی نادرست است" و... را بکار بندیم . بطور کلی منطقها بعنوان پایه برهان به 3 بخش متمایز مقادیر درستی (Truth Values), عملگرها(operators) و فرآیند استدلال (reasoning) تقسیم می شوند.
برای نمونه عملگر or برای دو ورودی منطق دودویی (با مقادیر درستی صفر و یک) به شکل زیر است:
OR B A
1 1 1
1 0 1
1 1 0
0 0 0
و برای فرآیند استدلالی به شرح زیر ما جدول متناسب را رسم نمودیم:
Modus Ponens : (A ^ (A → B) )→B
B ^ A → B B A
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 0 1 0 0
این استدلالها مربوط به منطق دودویی است ، در حالیکه منطق فازی بسطی از منطق چند ارزشی بر پایه تئوری مجموعه هاست که در آن مقادیر درستی بجای صفر و یک متغیرهای زبانی هستند.

تئوری مجموعه های فازی
در ابتدای کار به منظور یاد آوری به مجموعه های کلاسیک اشاره خواهیم داشت. یک مجموعه کلاسیک بعنوان یک مجموعه ای از اشیاء با اجزایA Є x تعریف می شود.در واقع تابع مشخصه ای وجود دارد که برای هر x متعلق به مجموعه مرجع U مقدار µ(x) را بررسی می کند، تا مشخص شود که آن x متعلق به A است یا خیر:
1 , if and onlyif xЄ A
A 0 , if and onlyif x
بعبارت دیگر گزاره xЄ A یا درست است ویا غلط .چنین مجموعه ای به اشکال مختلف قابل تعریف است:
1- می تواند لیست عناصری باشد که به مجموعه متعلقند.
2- 2-توصیف مجموعه با بیان شرط عضویت A={x|x<5}
3- تعریف عناصر بوسیله یک تابع مشخصه که در آن "1" نشانه عضویت و "0" نشانه عدم عضویت است.
اما زمانیکه تابع مشخصه می تواند مقادیر پیوسته ای در [0,1] را به خود اختصاص دهد آنگاه
µ(x): U → [0,1]
دیگر نمیتوان بطور دقیق عضوی از U را به مجموعه A نسبت داد یا بالعکس ، بلکه برای هر x یک "درجه عضویت" تعریف می شود ، مثلا وقتی گفته می شود درجه عضویت x در مجموعه A برابر 0.8 است ، حاکیست که امکان تعلق x به این مجموعه بیش از امکان عدم تعلق آنست .این نکته پایه تئوری مجموعه های فازی است و عمل تخصیص درجه عضویت نیز بر عهده توابع عضویت می باشد.
برای مثال فردی با 30 سال سن ، بیش از آنکه به مجموعه "پیر" تعلق داشته باشد به مجموعه "جوان" متعلق است و این وابستگی را با عددی بین 0 تا 1 نشان می دهیم.
تعریف- یک مجموعه فازی A در مجموعه مرجع U بصورت زوج مرتب زیر است:
A = { (x,µ(x))|xЄ A}
یک مشاور املاک میزان راحتی و آسایش خانه ها را به توجه به تعداد اتاقهای خواب آن طبقه بندی می کند( این مفهوم فازی است چرا که مشاور املاک دیگر ممکن است نظری متفاوت داشته باشد)! اگر مجموعه Aبه صورتA={1,2,…,10} مجموعه ای از انواع خانه های موجود با اعضای x نشاندهنده تعداد اتاقهای خواب باشد ، آنگاه مجموعه فازی "خانه راحت" برای یک خانواده 4 نفری بشکل زیر قابل تعریف است:
A={(1,0.2),(2,0.5),(3,0.8),(4,1),(5,0.7),(6,0.3)}
که در آن مناسبترین خانه ، با 4 اتاق خواب در نظر گرفته شده و بالاترین درجه عضویت هم به آن تخصیص یافته است. بالتبع اگرB مجموعه فازی برای یک خانواده 5 نفره باشد، حاصل مجموعه ای متفاوت از مجموعه A خواهد بود.

تابع عضویت
تابع عضویت
هر مقدار عددی را به درجه عضویت عبارات زبانی (بین 0 تا 1) می نگارد. در حالت استاندارد ، 3 مرحله برای بدست آوردن تابع عضویت یک متغیر زبانی ذکر شده است:
مرحله 1
برای هر عبارت ، آن مکانی که شامل نزدیکترین مقدار عددی به مفهوم زبانی عبارت است را انتخاب می کنیم و غالبا دارای ماکزیمم درجه عضویت µ=1 هم هست.مانند توابع عضویت مربوط به عبارت زبانی “power” که در زیر نشان داده شده است.pos-high نمایانگر توان مثبت بزرگ (positive) و neg-medium نشاندهنده توان منفی متوسط است.

مرحله 2
برای هر عبارت زبانی، مکان (یا مکانهایی) را که مقدار درجه عضویت عبارت در آنجا صفر است معین می کنیم.
مرحله 3
نقطه ای که دارای µ=1 بوده را به نقاطی که دارای µ=0 بودند با خطوط مستقیم وصل می کنیمف که می تواند تابعی به شکل Λ ایجاد نماید یا برای حالتی که دونقطه ماکزیمم داریم بصورت Π باشد.برای متغیرهای خروجی (مانند توانهای موتور در مثال قبلی) ، همین روند تکرار می شود.
برای توابع عضویت شکلهای مختلفی وجود دارد که مهمترین آنها عبارتند از:
1- مثلثی و ذوزنقه ای
به 2 دلیل این نوع شکل, در رسم توابع عضویت بیشترین کاربرد را دارند که علت آن سادگی در محاسبه خروجی یک سیستم فازی می باشد.
2- مکعبی
که حالت متقارن مکعبی را شامل می شود.
3-حالت منحنی (نمایی(
که نمودار تابع عضویت آن به شکل زیر است:
مثلا در بررسی تابع عضویت بشکل Π برای مرحله فازی سازی ورودیهای عددی تابع عضویت متغیر زبانی " تقریبا برابر عدد 10" در شکل زیر 4 نقطه در نظر می گیریم:

ملاحظه می شود که با استفاده از این 4 نقطه کل ناحیه محور به 5 بخش تقسیم خواهد شد. در نتیجه هر ورودی عددی به سیستم ، در یکی از این نواحی قرار می گیرد و بر همین اساس معادل زبانی و درجه عضویتش مشخص می گردد.فرضا اگر ورودی عدد 8 باشد، مقدار درجه عضویتش برای این عبارت زبانی 0.5 خواهد بود .
عملیات اساسی روی مجموعه های فازی(t-norm, co-norm)
چون مجموعه های فازی با توابع عضویتشان تعریف می شوند ، در واقع عملگرها روی این توابع عمل می کنند.
تعریف-مکمل مجموعه فازی با تابع عضویت µA(x) بصورت مجموعه ای با تابع عضویت زیر تعریف می شود:
µA(x)=1- µA(x)
فرضا تابع عضویت مجموعه فازی " تقریبا عدد 10" با اعمال این عملگر یعنی “not” به شکل زیر تبدیل می شود:

تعریف-co-norm اشتراک 2 مجموعه فازی C=AΠB ، مجموعه با تابع عضویت زیر است:
µC(x)=min {µA(x), µB(x)} xЄA
البته راههای دیگری در تعریف اشتراک وجود دارد ، مانند ضرب توابع عضویت µA(x)* µB(x) یا روابط دیگری که توسط افراد مختلف بکارگرفته شده است.
تعریف-t-norm اجتماع 2 مجموعه فازی C=AUB تابع عضویتی به شکل زیر دارد:
µC(x)=max {µA(x), µB(x)} xЄA

متغیرهای زبانی
یک متغیر بوسیله یک پنج تایی (x,T(x),U,G,M) مشخص می شود که x نام متغیر زبانی مانند دما، فشار و ... ، T(x) مجموعه ای از مقادیر زبانی است که برای x تعریف می شود ، مانند خیلی زیاد، کم و ...، U مجموعه مرجعی است که مقادیر زبانی روی آن تعریف می شوند ، مثلا برای دما ، بازه بین 50- و 100+ درجه سلسیوس بعنوان مقادیر مجاز برای مجموعه فازی " دما" تعریف می شود. G هم یک تابع عضویت تعریف شده روی مجموعه مرجع است که مفهوم مقادیر زبانی در عبارت را مشخص می کند وM(x) بعنوان زیر مجموعه ای فازی از U است مانند:
M(old)={(x,µold(x)|x Є[0,100]}
µold(x)= ,x Є [50,100]
پروفسور" زاده " در سال 1973 می نویسد:" متغیرهای زبانی ، متغیرهایی هستند که مقادیرشان اعداد نیستند ، بلکه لغات یا جملات یک زبان طبیعی یا ساختگی هستند." اگرچه تئوری مجموعه های فازی فقط با مدلهای ریاضی سر و کار دارد ، ولی امکان مدلسازی لغات و عبارات یک زبان طبیعی را به کمک متغیرهای زبانی می دهد. بطور کلی متغیرها به 2 دسته تقسیم می شوند :
1-زبانی: مانند کلمات و عبارات مر بوط به یک زبان طبیعی را گویند.
2- عددی:که متغیرها دارای مقادیر عددی هستند.
یک متغیر زبانی در واقع یک عبارت زبان طبیعی است که به یک مقدار کمیت خاص اشاره دارد و اصطلاحا مانند مترجم عمل می کندو به کمک تابع عضویت نشان داده می شود مانند واژه "سرد" در جمله "هوا سرد است". سردی خود متغیری است برای دمای هوا که می تواند مقادیر مختلفی به خود اختصاص دهد و در واقع یک تابع عضویت برای آن تعریف می شود.
متغیرهای زبانی می توانند از الحاقu=u1,u2,u3,…,un تشکیل شوند که هر کدام از ui ها عبارتی تجزیه ناپذیر است ، مانند " تا حدی سرد" ، که در مجموع به 4 دسته زیر تقسیم می شود:
1- عبارات اصلی: که بعنوان برچسبهایی برای مجموعه های فازی در نظر گرفته می شوند و مانند "سرد" در عبارت بالا یا عباراتی از قبیل: کوتاه ، بلند و... که هر کدام تابع عضویت مخصوص خود را دارند.
2- حروف ربط : مانند و ، یا...
3- پیراینده : که روی عبارات اولیه اعمال شده و اثر تشدید یا تضعیف در مفهوم آن عبارت را بهمراه دارد مانند تا حدی ، اندکی ، بسیار و...
4- حروف نشانه مانند پرانتز و...
تمامی پیراینده ها روی عبارات اصلی u بصورت u به توان p عمل می کنند که pЄ[0,∞) است و اگر p=∞ شود آنگاه عبارت دقیق و غیر فازی حاصل می شود و نشان می دهد که هیچ ابهام و تردیدی وجود ندارد.اگر فرضا متغیر زبانی “پیر” را بعنوان ملاک ایجاد یک مجموعه فازی در نظر بگیریم آنگاه آن مجموعه بصورت زیر خواهد بود:
پیر={(0.3و45)،(0.5و50)،(0.8و55)،(0.9و60)،(1و70)،(1و75)}
آنگاه عبارت "بسیار پیر" ="پیر به توان 2 " یعنی تمام درجات عضویت به توان 2 می رسند که ما حصل
بصورت زیر خواهد بود:
بسیار پیر={(0.09و45)،(0.25و50)،(0.64و55)،(0.81و60)،(1و70)،(1و75)}
و یا برای نمونه عملگری مثل "کم و بیش" که خاصیت تضعیف کنندگی مفهوم را با خود بدنبال دارد بصورت "کم و بیش پیر" = "پیر به توان " .
از مهمترین کاربردهای این منطق در هوش مصنوعی و طراحی رباتهاست.

منطق فازي و هوش مصنوعي‌
جالب‌ترين كاربرد منطق فازي، تفسيري است كه اين علم از ساختار تصميم‌گيري‌هاي موجودات هوشمند، و در راس آن‌ها، هوش انساني، به دست مي‌دهد.
اين منطق به خوبي نشان مي‌دهد كه چرا منطق دو ارزشي <صفر و يك> در رياضيات كلاسيك قادر به تبيين و توصيف مفاهيم نادقيقي همچون <گرما و سرما> كه مبناي بسياري از تصميم‌گيري‌هاي هوشمند را تشكيل مي‌دهند، نيست.
شايد يكي از جالب‌ترين كاربردهاي منطق فازي هوش مصنوعي در بازي‌هاي رايانه‌اي و جلوه‌هاي ويژه سينمايي باشد. برخي از خوانندگان كه بخش هنر و سرگرمي ماهنامه شبكه را دنبال مي‌كنند، ممكن است مقاله ارباب حلقه‌ها را در شماره 41 به ياد بياورند. در آنجا درباره چگونگي توليد جلوه‌هاي ويژه در اين فيلم سينمايي صحبت كردم و از نرم‌افزار Massive نام بردم. از اين نرم‌افزار در بسياري از صحنه‌هاي فيلم براي توليد حركات لشكر موجودات متخاصم استفاده شده بود.

شكل 5
در اين برنامه متخصصان كامپيوتر و انيميشن ابتدا موجوداتي را به صورت الگو ايجاد كرده بودند و سپس به كمك منطق فازي مصداق‌هايي تصادفي از اين موجودات خيالي پديدآورده بودند كه حركات تصادفي - اما از پيش تعريف شده‌اي ‌-‌ در اعضاي بدن خود داشتند.
اين موجودات در حقيقت داراي نوعي هوش مصنوعي بودند و مي‌توانستند براي نحوه حركت دادن اعضاي بدن خود تصميم بگيرند. در عين حال تمام موجوداتي كه در يك لشكر به سويي مي‌تاختند يا با دشمني مي‌جنگيدند، از جهت حركت يكساني برخودار بودند و به سوي يك هدف مشخص حمله مي‌كردند(شكل5).
اين ساختار كاملا‌ً پيچيده و هوشمند به فيلمسازان اجازه داده بود كه اين موجودات افسانه‌اي را در دنياي مجازي كامپيوتر به حال خود رها كنند تا به سوي دشمنان حمله كنند و اين همه بي‌ترديد بدون بهره‌گيري از منطق فازي امكانپذير نبود.
شركت Massive Software كه به دليل به‌كارگيري منطق فازي براي ايجاد هوش‌مصنوعي در طراحي لشكريان فيلم‌ ارباب حلقه‌ها برنده جايزه اسكار شد، بعداً اين تكنيك را در فيلم‌هاي ديگري همچون I.Robot و King Kong نيز به‌كار برد.
استفاده از منطق فازي براي هوشمند‌كردن موجودات نرم‌افزاري تنها گونه‌اي از كاربردهاي اين نظريه در هوش‌مصنوعي است. منطق فازي در هوشمند ساختن روبات‌هاي سخت‌افزاري نيز كاربردهاي زيادي دارد. در شماره‌هاي آتي ماهنامه شبكه به اين موضوع بيشتر خواهيم پرداخت.
كاربردهاي منطق فازي‌
منطق فازي كاربردهاي متعددي دارد. ساده‌ترين نمونه يك سيستم كنترل دما يا ترموستات است كه بر اساس قوانين فازي كار مي‌كند. سال‌هاست كه از منطق فازي براي كنترل دماي آب يا ميزان كدرشدن آبي كه لباس‌ها در آن شسته شده‌اند در ساختمان اغلب ماشين‌هاي لباسشويي استفاده مي‌شود.
امروزه ماشين‌هاي ظرفشويي و بسياري از ديگر لوازم خانگي نيز از اين تكنيك استفاده مي‌كنند. منطق فازي در صنعت خودروسازي نيز كاربردهاي فرواني دارد. مثلاً سيستم ترمز و ABS در برخي از خودروها از منطق فازي استفاده مي‌كند. يكي از معروف‌ترين نمونه‌هاي به‌كارگيري منطق فازي در سيستم‌هاي ترابري جهان، شبكه مونوريل (قطار تك ريل) توكيو در ژاپن است. ساير سيستم‌هاي حركتي و جابه‌جايي بار، مثل آسانسورها نيز از منطق فازي استفاده مي‌كنند.
سيستم‌هاي تهويه هوا نيز به وفور منطق فازي را به‌كار مي‌گيرند. از منطق فازي در سيستم‌هاي پردازش تصوير نيز استفاده مي‌شود. يك نمونه از اين نوع كاربردها را مي‌توانيد در سيستم‌هاي <تشخيص لبه و مرز> اجسام و تصاوير(3) مشاهده كنيد كه در روباتيك نيز كاربردهايي دارد. به طور كلي خيلي از مواقع در ساختمان سيستم‌هاي تشخيص الگوها (Pattern Recognition) مثل سيستم‌هاي تشخيص گفتار و پردازش تصوير از منطق فازي استفاده مي‌شود.

شكل 3

فرمول 2

منطق فازي چگونه به‌كار گرفته مي‌شود؟
منطق فازي را از طريق قوانيني كه <عملگرهاي فازي> ناميده مي‌شوند، مي‌توان به‌كار گرفت. اين قوانين معمولاً بر اساس مدل زير تعريف مي‌شوند:
IF variable IS set THEN action
به عنوان مثال فرض كنيد مي‌خواهيم يك توصيف فازي از دماي يك اتاق ارائه دهيم. در اين صورت مي‌توانيم چند مجموعه فازي تعريف كنيم كه از الگوي تابع (‌u(x تبعيت كند. شكل 2 نموداري از نگاشت متغير <دماي هوا> به چند مجموعه‌ فازي با نام‌هاي <سرد>، <خنك>، <عادي>، <گرم> و <داغ> است. چنان كه ملاحظه مي‌كنيد، يك درجه حرارت معين ممكن است متعلق به يك يا دو مجموعه باشد.

شكل 2
به عنوان نمونه، درجه حرارت‌هاي بين دماي T1 و T2 هم متعلق به مجموعه <سرد> و هم متعلق به مجموعه <خنك> است. اما درجه عضويت يك دماي معين در اين فاصله، در هر يك از دو مجموعه متفاوت است. به طوري كه دماي نزديك T2 تنها به اندازه چند صدم در مجموعه <سرد> عضويت دارد، اما نزديك نوددرصد در مجموعه <خنك> عضويت دارد.

پارادايم حاكم بر يك كنترلر فازي به اين ترتيب است كه متغيرهاي دنياي واقعي به عنوان ورودي دريافت مي‌شوند. قوانين فازي آن‌ها را به متغيرهاي معنايي تبديل مي‌كند. فرآيند فازي اين ورودي را مي‌گيرد و خروجي معنايي توليد مي‌كند و سرانجام خروجي‌ها به زبان دنياي واقعي ترجمه مي‌شوند. نمودار شكل 3 مصداقي از همين روند است.

مجموعه‌هاي فازي‌
بنياد منطق فازي بر شالوده نظريه مجموعه‌هاي فازي استوار است. اين نظريه تعميمي از نظريه كلاسيك مجموعه‌ها در علم رياضيات است. در تئوري كلاسيك مجموعه‌ها، يك عنصر، يا عضو مجموعه است يا نيست. در حقيقت عضويت عناصر از يك الگوي صفر و يك و باينري تبعيت مي‌كند. اما تئوري مجموعه‌هاي فازي اين مفهوم را بسط مي‌دهد و عضويت درجه‌بندي شده را مطرح مي‌كند. به اين ترتيب كه يك عنصر مي‌تواند تا درجاتي - و نه كاملاً - عضو يك مجموعه باشد. مثلاً اين جمله كه <آقاي الف به اندازه هفتاددرصد عضو جامعه بزرگسالان است> از ديد تئوري مجموعه‌هاي فازي صحيح است. در اين تئوري، عضويت اعضاي مجموعه از طريق تابع (u(x مشخص مي‌شود كه x نمايانگر يك عضو مشخص و u تابعي فازي است كه درجه عضويت x در مجموعه مربوطه را تعيين مي‌كند و مقدار آن بين صفر و يك است (فرمول 1).

فرمول 1

به بيان ديگر، (‌u(x نگاشتي از مقادير x به مقادير عددي ممكن بين صفر و يك را مي‌سازد. تابع (‌u(x ممكن است مجموعه‌اي از مقادير گسسته (discrete) يا پيوسته باشد. وقتي كهu فقط تعدادي از مقادير گسسته بين صفر و يك را تشكيل مي‌دهد، مثلاً ممكن است شامل اعداد 3/0 و 5/0 و 7/0 و 9/0 و صفر و يك باشد. اما وقتي مجموعه مقاديرu پيوسته باشند، يك منحني پيوسته از اعداد اعشاري بين صفر و يك تشكيل مي‌شود.

شكل 1 نموداري از نگاشت پيوسته مقادير x به مقادير ‌(‌u(x را نشان مي‌دهد. تابع‌ (‌u(x در اين نمودار مي‌تواند قانون عضويت در يك مجموعه فازي فرضي را تعريف كند.

منطق فازی

مطالب مشابه :