آموزش کامل انتگرال

انتگرال نامعین

اگر 26320f9d1a6d732658a647660ce6c64f.png پاد مشتق 48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.pngباشد ، آنگاه d64a8e0fb707b72e42a3325ba3cd7e3a.png به ازای هر مقدار ثابت f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png یک پاد مشتق 48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.png است.زیرا اگر 1eb395881a0b6ae5f12f348ee766fe4c.png آنگاه:

2323d46ac59e9d5048561767d7b41f2f.png


 

نکته

اگر 4a58e1a2e7374ded8084db6218116d8b.pngجوابی برای bfe445e85f3b398a2d60202c1f8fee58.png باشد ، فرمول 69b7c77e7665e4dc7c29a3b112042245.png همه جوابها را به دست می‌دهد.


انتگرال نامعین

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون 48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.png را انتگرال نامعین 8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png نسبت به 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.pngمی‌نامند و با a988b1aad09e1b96a9705301e27d67be.png نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول d64a8e0fb707b72e42a3325ba3cd7e3a.pngهمه پادمشتق‌های 8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :
d7bb0b86d923a0b55f9e753e096eaeb6.png


تابع 8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png را انتگرال ده انتگرال وf93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین 79e09efba685c667efccfa7a9bae331c.png نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png است.


خواص انتگرال

  1. انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png برابر است با a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png به علاوه یک ثابت دلخواه.
  2. یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
  3. انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

فرمول های انتگرال گیری

525955f12e5b7a33f57874666ed70469.png


 

e309747d67f1078a5efc1224934abbf7.png


 

367433b5f726f65f09d43adb5e7d2606.png , d2a1d9caa0152284e95baac9d2806559.png


 

b8628263f2553ce3de4a6821f1df60cc.png , abdcc71c24fbd6ef90d0ff0e4535e6f5.png


 

7e3ade3aff64d6e4b75cc45bed27dd8d.png , 9dc2e0b1c8673784114c46a944888b5b.png


 

039138de2ac86fee3459578b54ac7986.png , 461d8576b11451dd8b95655402a6d809.png


 

b21298968d31981c412367f23470d904.png


 

ede7d77e9316efc1dc7b8026358a0ecb.png


 

1f672cae9bfefa758e53c34ee417704b.png


 

ac991b22c2d8a19e1defebdeaf39781a.png


در این دستور‌ها a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر e1cf550b859a1de8266066c0bc74f416.png آنگاه 17ee98ad7ea5bad2177a3ba1abd953ea.png


انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند eecdd13ed469625a62c837544d730cb7.png معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی ad5fca24893edae00282ab1b3b841e1a.png را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون c5babf68baade29b50e4ded2a8a177d7.png از دامنه 87a62474033524575fe5fc29dd221a00.png را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه fa85d9c195a218dce6fc0a5e48d7908e.png را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن e4d117a14a265dcc491e4d7a70eb3625.png و e94c79ce3d009f8f05076090b4b1402e.png در معادله ad5fca24893edae00282ab1b3b841e1a.png و حل آن نسبت به f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png جوابی را یافت که از نقطه 1fe41a33961896ee5aa532e4aebd4103.png بگذرد.به این ترتیب داریم 79e7b95dcc0212995031702b19424b4d.png یا 64d3b050d0da2cdbab151ccc9456890b.png.
خم cbfad94e3ef13fb75096addf48934ee0.png خمی است که از 1fe41a33961896ee5aa532e4aebd4103.png می‌گذرد.

انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png تابع پیوسته و مشتق پذیر 32e2edba7789d9917cc8b1aff6784c53.png را قرار می دهیم، یعنی :
789bc0525bd335db8f663c8979a55e56.png


بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس ، به جای 331004b146a073801166787069f73b5e.png نسبت به 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png قرار می‌دهیم . یعنی: 4d519d25200e47f93965cfdea25ef643.png
از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:

4bc20eaf572296578640fd779604cd34.png


 


انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

دستور 51c3f909a5d4e4ab01b6ff2b925bd8ab.png موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن 010faaa935eb5ed85b8fe482e8053241.png توابعی مشتق‌پذیر از 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png فرض می‌کنند.

دید کلی

برای آنکه بتوانیم مساحت شکل مسطح را حساب کنیم واحدی برای مساحت در نظر می‌گیریم که عبارت است از مساحت مربعی که طول اضلاع آن مساوی واحد می‌باشد. اگر مثلا اینچ را واحد طول گرفته باشیم واحد مساحت نظیر آن عبارت است از اینچ مربع یعنی مساحت مربعی که طول اضلاع آن یک اینچ می‌باشد. بر مبنای این تعریف به آسانی می‌توان مساحت هر مربع مستطیل را حساب کرد.


مفهوم انتگرال معین

اولین مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال عبارت از مفهوم انتگرال می‌باشد. در این مبحث انتگرال را به عنوان اندازه مساحت سطحی که در زیر منحنی مفروض قرار گرفته است و به صورت حدی در نظر خواهیم گرفت اگر یک تابع مثبت و اتصالی y=5cf99c47791481f93b303a1b9674a7cb.png داده شده باشد در این صورت مساحتی را در نظر می‌گیریم که در زیر این منحنی واقع است و از طرف پایین ، قطعه خطی واقع بر محور x ها محدود می‌شود که ما بین دو نقطه به طولهای a ، b و b>a واقع است و از طرفین به دو خط عمود بر محور xها که از این دو نقطه رسم شوند محدود است. هدف ما آن است که مساحت این سطح را که A نامیده می‌شود حساب کنیم.

انتگرال معین

نخست به تعریف مساحت ناحیه محصور بین نمودار یک تابع پیوسته نامنفی مانند 272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png و بازه ای از محور d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png مانند e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png می پردازیم.
برای این منظور تا آنجا که می توانیم (طبق شکل 1) بخش هرچه بیشتری از این ناحیه را با مستطیل های محاطی قائم پر می کنیم. مجموع مساحت های مستطیل ها تقریبی است از مساحت ناحیه.هرچه تعداد مستطیل ها بیشتر باشد، تقریب بهتری به دست می آید. بنا به تعریف، مساحت این ناحیه، حد مجموع مساحت های مستطیل هاست وقتی که مستطیل ها کوچک و کوچک تر شوند و تعداد آنها به سوی بی نهایت میل کند.
img/daneshnameh_up/8/8e/ANTEGRAL_MOAYAN1.JPG


حال اگر به جای مستطیل های محاطی، مستطیل های محیطی (مطابق شکل 2) و یا هر نوع دیگری از مستطیل ها که قاعده پایین آن ها بر محور d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png ها منطبق و قاعده بالای آن ها خم را قطع کنند به کار ببریم، دقیقا" همان حد به دست می آید.
این نکته نیز شایان ذکر است که حد مجموع مساحت های این مستطیل ها نه تنها برای توابع پیوسته نا منفی – که بحثمان را با آن ها آغاز کردیم – بلکه برای هر تابع پیوسته ای وجود دارد.

img/daneshnameh_up/c/ca/ANTEGRAL_MOAYAN2.JPG


 


مجموع انتگرال بالا – مجموع انتگرال پایین

تابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png را در نظر می گیریم که در فاصله e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png تعریف شده است. عبارت
3aa268e8362f27069d21cca9f77af506.png


را مجموع انتگرال این تابع گویند که در آن :

25ef68e2beea3ee17dad260b8cf88106.png


 

49d10d9f60770d65945b0ea9a242e207.png


مجموع 5a2db805f0ceeae796be946939a46229.png را مجموع (انتگرال) بالا و 3811fba91bdd78f83103b6f0612ad9d4.png را مجموع (انتگرال) پایین نامند که در آن :

7a4a7b8f65cd39f82c6c774ca0de5df5.png


 

f28b2d3992cd8b091ec4b222a3f23f75.png


 


تابع انتگرال پذیر

حد مجموع انتگرال c20d355cbf9a9f56d101aa1f7cda9d1e.png وقتی 123f957813c5be23ccc49f4692b6972f.png را انتگرال معین تابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png در فاصله e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png گویند.
اگر این حد موجود باشد، تابع را در فاصله e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png انتگرال پذیر گویند.
(نکته : هر تابع پیوسته انتگرال پذیر است.)

محاسبه انتگرال معین با استفاده از دستور نیوتن-لایپنیتز

دستور زیر معروف به دستور نیوتن-لایپنیتز است :
33f875bc526894e80bcfc363624d458e.png


که در آن 4b823665c3b0b662ae55727a21206b18.png یک تابع اولیه تابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png می باشد یعنی :

da754fc822e937734fca7dd040578b0c.png


 

مزایای فرمول نیوتن- لایبنیتز

فرمول نیوتن- لابینیتز هنگامیکه یک تابع اولی تابع انتگرال (تابع زیر علامت انتگرال) معلوم باشد یک روش مناسب و عملی برای محاسبه انتگرالهای معین به دست می‌دهند. در حقیقت انتگرال معین فقط زمانی اهمیت کنونی خود را در ریاضیات کسب کرد که این فرمول توسط نیوتن- لایبنیتز کشف شد. اگر چه پیشینیان (ارشمیدس) از یک عمل مشابه‌ای برای محاسبه انتگرال معین به عنوان حد مجموع انتگرال آگاه بودند، کاربردهای این روش منحصر بود به حالتهای بسیار ساده‌ای که حد مجموع انتگرال می‌توانست مستقیما محاسبه شود. فرمول نیوتن- لایبنیتز دامنه کاربردهای انتگرال معین را تا حد زیاد گسترش داد، زیرا ریاضیات یک روش عمومی برای حل مسائل گوناگون خاصی بدست آورد، و بنابراین توانست بطور قابل ملاحظه‌ای حدود کاربردهای انتگرال معین را در صنعت ، مکانیک ، نجوم و غیره توسعه دهد.


تخمین یک انتگرال معین

1. اگر در فاصله 88af94d51a4fafb570f7c4ead6eedc71.png داشته باشیم 416bbe0b4e70959da9a2612ff09f5ed2.png آنگاه : 9d6b4ebaf01771915df60a765d95971b.png


و بویژه :

9974deb359065baa288777ef7cf8fd2c.png


2. اگر 4137b8cbe28d0b61ce44b64209c85b0c.png کوچکترین و 0f4b24919d937947579789b4e2bdd91a.png بزرگترین مقدار تابع در فاصله e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png باشد، آنگاه :

febdaa56b59c81a926d18068e5e8acfc.png


3.قضیه مقدار میانگین : اگر تابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png در فاصله e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته باشد، آنگاه :

255c5e6777b31ef3801efef287065cf0.png


4. تعمیم قضیه مقدار میانگین : اگر توابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png و 27285b14e092ff695d0ae0e71d35c5e7.png در فاصله e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته باشند و همچنین علامت 27285b14e092ff695d0ae0e71d35c5e7.png در این فاصله ثابت بماند، آنگاه :

58b231b919922a3d48605ecaa9e39197.png


5.به ازای هر d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png از نقاط پیوستگی تابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png داریم :

de44ce0f365f240a011de9bbed74dfc1.png


 

b8f3b389e36c74ab911a9a64bf5bd792.png


 


تغییر متغیر در انتگرال معین

اگر تابع f27339a1deb91195865bee90b044e9d1.png در شرایط زیر صدق کند :
الف. d7aaac6508c909ea338aaa04e9fbca0d.png در فاصله 5e8dbbb497349ab5727feb1de4782a3f.png، تابعی پیوسته و یک مقداری بوده و در این فاصله 93da48de87e24cd5fab736537a36f204.png نیز پیوسته باشد.
ب. اگر 0ce224de805126f572515674bd682521.png در فاصله 5e8dbbb497349ab5727feb1de4782a3f.png تغییر نماید، مقادیر تابع 76e15d9b22212acb139650c882daf014.png از فاصله e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png خارج نشود.
ج. 8fa2f2e0d29e0eeb2ad2d1365fb0b274.png و fd22d9f69d6cf601ae31bbc0232b78c3.png
آنگاه دستور تغییر متغییر در انتگرال معین برای هر تابع پیوسته در فاصله e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png بصورت زیر اعمال می شود :
af56a951bbcb7d89f71e3c567c4bbf9a.png


 

محاسبه مساحت سطوح در مختصات قائم

  • اگر تابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png در بازه بسته ، بزرگتر یا مساوی صفر باشد، در این صورت مساحت زیر منحنی تابع 272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png برابر است با انتگرال تابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png


 

  • اگر تابع 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png در همان بازه کوچکتر یا مساوی صفر باشد آنگاه مساحت زیر منحنی برابر است با قرینه انتگرال تابع8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png


انتگرال در تمام فاصله تفاضل مساحت بالا و پایین محور ox را به دست می دهد. برای پیداکردن مجموع مساحت های سطوح به معنی معمولی، باید مجموع قدر مطلق های انتگرال فواصل جزئی فوق الذکر را به دست آوریم.

محاسبه سطح یک قطاع منحنی الخط در مختصات قطبی

فرض می کنیم 8a203c0fd21bfe76a92b753092ee116a.png معادله یک خم در مختصات قطبی است، که در آن 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png یک تابع پیوسته است هنگامیکه α≤θ≤β می باسد. برای به دست آوردن مساخت قطاع محدود شده به وسیله خم8a203c0fd21bfe76a92b753092ee116a.png و شعاعهای حامل θ=α و θ=β به صورت زیر عمل می کنیم:

محاسبه طول کمان یک خم

طول کمان یک خم در مختصات قائم (کارتزین)

فرض می کنیم 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png معادله یک خم در مختصات قائم باشد. برای محاسبه طول کمان این گونه عمل می کنیم:

با به کاربردن این فرمول اخیر اغلب می توان مشتق کمان را نسبت به طول به دست آورد.

طول کمان یک خم در

فرض می کنیم 8a203c0fd21bfe76a92b753092ee116a.png معادله یک خم در مختصات قطبی باشد، که در آن ρ شعاع حامل و θ زاویه قطبی است. رابطه های بین مختصات قائم ومختصات قطبی چنین اند.

X=f(θ)cosθ , Y=f(θ)sinθ

این معادلات را می توان معادلات پارامتری خم اختیار کرد و با به کاربردن فرمول زیر می توان طول کمان خم را به دست آورد:

محاسبه حجم یک جسم دوار

  • فرض کنید f روی بازه از a تا b پیوسته و نامنفی باشد، اگر ناحیه زیر منحنی در این بازه بسته حول محور x دوران کند، حجم جسم دوار برابر است با:


اگر تابع f حول محور y دوران کند حجم جسم دوار برابر است با: انتگرال نسبت به محور y.

محاسبه سطح یک جسم دوار

رویه دوار حاصل از دوران خم 272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png حول محور x ها را در نظر می گیریم. مساحت این رویه را به صورت زیر محاسبه می کنیم:

محاسبه کار

اگر نیروی ثابت F (کیلوگرم) در تغییر مکانی برابر S (متر) عمل کند، کار انجام شده (بر حسب کیلوگرم متر) برابر است با حاصلضرب نیرو در تغییر مکان، یعنی

W=F.S


اما وقتی نیرو ثابت نباشد، مثلا در مواقعی که یک فنررا می کشیم یا فشار می دهیم، نمی توانیم کار انجام شده را مستقیما از رابطه فوق به دست آوریم. ولی اگر نیرو تابع پیوسته ای از S باشد، از رابطه مذکور می توان برای یافتن مقدار تقریبی کار انجام شده در یک تغییر مکان کوتاه، مثلا ∆S استفاده کرد و می توان به روش انتگرال گیری دستور اخیر را برای یافتن مقدار کل کار انجام شده تعمیم داد.

فرض می کنیم جسمی روی خط مستقیمی تحت اثر نیروی متغیر و پیوسته 4b823665c3b0b662ae55727a21206b18.png حرکت می کند و از نقطه x=a به نقطه x=b می رود. می خواهیم مقدار کار انجام شده توسط نیروی 8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png را در این تغییر مکان حساب کنیم.

کار لازم برای تخلیه یک مخزن

کار لازم برای تخلیه کردن مایعی به حجم V و وزن مخصوص w از درون یک مخزن و رساندن آن به ارتفاع h از سطح اولیه مایع از رابطه زیر به دست می آید:

قانون هوک

اگر فنری به طول x بیش از طول طبیعی خود کشیده شود، با نیرویی مساوی kx، به عقب کشیده می شود، که در آن k ثابتی است که به جنس و طول فنر بستگی دارد. قانون هوک، زمانی که فنر به اندازه x فشرده شود نیز برقرار است.

  • قضیه: اگر F برآیند همه نیروهای وارد بر متحرکی به جرم m باشد و امتداد F ثابت بماند، آنگاه، مقدار کار انجام شده توسط نیروی F بر آن متحرک، اعم از اینکه نیروی F ثابت باشد یا متغیر، برابر با تغییر انرژی جنبشی آن متحرک است. برای اثبات این قضیه وسایل لازم عبارتند از رابطه کار، تعریف انرژی جنبشی، قانون دوم نیوتن در رابطه
V=ds/dt



یعنی، مقدار کار انجام شده توسط F برابر با انرژی جنبشی در b منهای انرژی جنبشی در a است.

محاسبه مساحت ناحیه بین دو منحنی

فرض می کنیم دو تابع f و g در بازه a , b پیوسته باشند و برای هر x در این بازه داشته باشیم f(x) ≥ g(x)، برای محاسبه مساحت محصور بین دو منحنی به این صورت عمل می کنیم:

محاسبه مساحت پیموده شده توسط یک متحرک

متحرکی با سرعت V=f(t) در فاصله a , b علاوه بر پیوسته بودن مثبت نیز باشد. یعنی جسم تنها در یک جهت حرکت کند و هرگز به عقب برنگردد. اگر S موضع متحرک در لحظه t باشد، پس مسافت پیموده شده توسط متحرک به این صورت به دست می آید:

(S|ab=F(b)-F(a



هرگاه سرعت در بازه باز (a , b) تغییر علامت بدهد، انتگرال f8cf1b9dd6487ee178227669e75df967.png فقط مقدار حاصلجمع جبری تغییر S را به دست خواهد داد. در این حالت فواصلی را که به جلو و عقب پیموده می شوند می توان حذف کرد. اگر بخواهیم مقدار واقعی کل مسافت پیموده شده را بیابیم باید انتگرال قدرمطلق سرعت را پیدا کنیم. برای محاسبه این انتگرال باید آن را در روی قسمتهایی که V مثبت و یا منفی است. به طور جداگانه حساب و سپس قدرمطلق نتیجه های حاصل را با هم جمع کنیم.

محاسبه مقدار میانگین یک تابع

از مفهوم مقدار میانگین در نظریه های اقتصادی برای بررسی میانگین موجودی روزانه استفاده می شود. اگر 34bd5b1cd9188fef87d3ce33cbe01097.png تعداد رادیوها یا کفشها یا هر کالای دیگری باشد که کارخانه ای در روز x در اختیار دارد، آنگاه

را میانگین موجودی روزانه آن کالا در مدت a≤x≤b می نامند. هزینه های محل انبارکردن، آب و برق و گاز و تلفن، بیمه، و نگه داری، بخش عمده ای از هزینه های انبارداری است، و موجودی روزانه کارخانه می تواند نقش مهمی در تعیین این هزینه ها داشته باشد. همچنین از مفهوم مقدار میانگین در محاسبه ولتاژ و جریان موثر در مدارهای الکتریکی استفاده می کنیم.

گشتاور و مرکز جرم

در تحلیل سازه‌ها و سیستمهای مکانیکی در مهندسی و فیزیک، غالبا جرم آنها را چنان در نظر می گیرند که گویی در یک نقطه متمرکزند. این نقطه را مرکز جرم می نامندو رفتار سیاره ای که دور خورشید می گردد، رفتار یک جرم نقطه ای است که حول جرم نقطه ای دیگر می گردد. وقتی که صفحه ای تخت را روی نوک انگشتان به حالت تعادل در می آوریم، نوک انگشت در مرکز جرم صفحه قرار می گیرد. از انتگرال می توان برای محاسبه گشتاورها و مرکز جرم استفاده کرد. اگر My، Mx و m به ترتیب گشتاور جرم ورقه D نسبت به محور y، گشتاور جرم این ورقه نسبت به محور x و جرم کل ورقه باشد، آنگاه

تاریخچه انتگرال:

بيش از دو هزار سال پيش ارشميدس (287-212 قبل از ميلاد) فرمول هايي را براي محاسبه سطح  وجه ها ، ناحيه ها و حجم هاي جامد  مثل كره ، مخروط و سهمي يافت . روش انتگرال گيري ارشميدس استثنايي و فوق العاده بود جبر ، نقش هاي بنيادي ، كليات و حتي و


مطالب مشابه :


آموزش کامل انتگرال

آموزش کامل انتگرال در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای تابع پیوسته و مشتق




آموزش انتگرال

آموزش انتگرال - آموزش و هر گاه معادله مشتق 3.قضيه اساسي حساب ديفرانسيل و انتگرال




آموزش انتگرال به همراه فرمولهای انتگرال

آموزش انتگرال به همراه و انتگرال را در که انتگرال واقعاً پاد مشتق




آموزش انتگرال

آموزش انتگرال. ديفرانسيل و انتگرال را در نظر کنيد که انتگرال واقعاً پاد مشتق




آموزش کامل انتگرال

انتگرال نامعین . مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون را انتگرال نامعین نسبت به می‌نامند و




حساب دیفرانسیل و انتگرال

حساب دیفرانسیل و انتگرال. سوالات نیمسال اول و دوم پاورپوینت آموزش مشتق و ضریب




آموزش انتگرال

آموزش انتگرال دیفرانسیل و انتگرال را در نظر کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق




مشتق گیری و انتگرال گیری عددی با متلب

در این پست روشی ساده برای محاسبه ی مشتق و انتگرال یک تابع با استفاده از آموزش برنامه




برچسب :