نسبت های مثلثاتی

مطالعه روی زوایا و روابط موجود میان زوایای اشکال مسطح و سه بعدی مثلثات نامیده می‌شود.تابع مثلثاتی از قبیل سینوس و کسینوس توابعی هستند که بوسیله روابط هندسی تعریف می‌شوند.


trigonometry.gif
تاریخچه 

اولین کسانی که از مثلثات استفاده می‌کردند یونانیان بودند.در یونان قدیم از مثلثات برای تعیین طول مدت روز یا طول سال (با مشخص کردن موقعیت ستارگان در آسمان)استفاده می‌شد.بعدها ریاضیدانان و منجمان هندی نیز پیشرفت‌هایی در مثلثات بدست آوردند ولی پیشرفت این علم مدیون دانشمندان مسلمان است .مسلمانان اصلی‌ترین نقش را در پیشرفت این علم ایفا کردند و سپس این اندوخته‌ها را در قرون وسطی به اروپاییان منتقل کردند. اروپاییان نیز دانش فراوان مسلمانان در مثلثات استفاده کردند و این علم را توسعه داده و به شکل امروزی در آوردند.


کاربردها 

علم مثلثات در نجوم کاربرد فراوانی دارد و ازآن برای اندازه‌‌گیری فواصل بین ستارگان استفاده می‌شود. همچنین در طراحی سیستم‌های ماهواره ای از مثلثات استفاده فراوانی می‌شود.در دریانوردی نیز از مثلثات برای تشخیص جهت‌های جغرافیایی کمک گرفته می‌شود.امروزه از مثلثات در شاخه های مختلف فیزیک ماننداپتیک ، اکوستیک ، در تحلیل بازارهای مالی، الکترونیک ، معماری ، اقیانوس شناسی ، مکانیک ، بلور شناسی ، ژئودزی ، عمران و اقتصاد استفاده فراوانی می‌شود

دایره مثلثاتی

در ریاضیات دایره مثلثاتی دایره‌ای به شعاع واحد است. x و y دو مختصه روی این دایره هستند که بنا به تعریف دایره:

x2 + y2 = 1

نقطه (x, y) روی این دایره با (۰, ۰) زاویه‌ای می‌سازد که از روابط زیر بدست می‌آید:

15daf0e846522e50d296342553e84503.png

17c34d3c9a93faa399617c2cb12ad7e9.png

DM.PNG

دایره مثلثاتی با نمایش زاویه t در نقطه (x, y)
بنابر این خواهیم داشت:

8af357e47cae10e939ac1067260a41e4.png

و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس دوره‌ای (پریودیک) هستند:

96358003f3e017d23b7ae64985158305.png

85ec2ecbc3032e78bb5a75e2a418fb6c.png

که در آن k عددی صحیح است. سایر توابع مثلثاتی نظیر تانژانت و کتانژانت و سکانت و کسکانت را می‌توان به همین ترتیب بدست آورد.



DM2.PNG

فرمول‌های مهم مثلثات

فرمول های مهم مثلثات برای تبدیل و محاسبه

497801cc21dc943f973022977778552f.png

64ca2a16855429217afbade7d5de2062.png

d2d58ec199f80f8feaf975ed54d753e3.png

f484a835b81412ae6498685b89550cad.png

501e0027f9db035d490bed1d8ab31d26.png

ef12580d7921c8321aa632f8ee73a879.png

27bbd534251f56495fddacf3cfa041d9.png

bfed1a7a515ee338eb92657bcd8a588f.png

d2bb6061f64e8a1ce5dc69729c384505.png

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

(فرمول طلایی)

d861033def85a11916d1ee5989f678c9.png

dca63b0a508cad9c0d10464c797e10c3.png

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

(تبدیل ضرب به جمع)

5c5fef00be1c27476e022dc0ab3c5dcc.png

c384bfa506c74a7f182a852e5ee41029.png

87acfe6eb052c46363ce585e55123c31.png

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

(تبدیل جمع به ضرب)

6bbc8e036ab2c0ccdd9e20452bf2d231.png

f5dd8e0f04b4444f5139e54ae9de1b05.png

0a795ab11d2fb7084fb8f1aacbf5fbb3.png

d49a9e24201cba5f6bfb7d7e8b2aedc4.png

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

نسبت های مثلثاتی بر حسب 966fbe258ca53fef6df91b27f215b73c.png

0e3ff0b66761ea9186de9900c9b6976c.png

55cf0b0abf23ee681208f9cdb9c0d22f.png

6d91ef663bdf2e3833ca9f141e33dc6c.png

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

فرمول کاشانی که در هر مثلثی صدق می‌کند

e7767595839838fa45be2ee14b06fbcb.png

قانون کسینوس‌ها

در مثلثات قانون کسینوس‌ که به نام‌ قانون کاشانی هم شناخته می‌شود و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:


a2c3a9527af895a3fa6e8e9d0bb1b30d.png

b13f51c28097f005fedf17e5e54feaa6.png

f5e7ac224e943897617704077a13dd7b.png


4d8d17cae0a354660b66327415507651.png


Capture.PNG



نسبت های مثلثاتی

سینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.

تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به وتر را سینوس آن زاویه می‌نامند.
سینوس را در متن‌های عربی و فارسی قدیم «جیب» می‌نامیدند.
طبق تعریف بالا در مثلث زیر داریم:



Sin1.PNG

da0e7f20d900b724a80f82c3c33f6427.png 58b7ac02405fd86f8023d66469476556.png
تغییرات سینوس
اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات سینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:


Sin2.PNG

تابع سینوس
تابع سینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه سینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = sinx گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن 2π می‌باشد.



Sin3.PNG

.................................................. ....................

کسینوس
کسینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است. اصطلاح قدیمی این نسبت در ریاضیات و اخترشناسی قدیم جیب تمام بوده‌است.


Ciclo.png

تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مجاور هر زاویه حاده به وتر را کسینوس آن زاویه می‌نامند.
با توجه به تعریف سینوس در مثلث ABC خواهیم داشت:


Cos1.PNG


58b7ac02405fd86f8023d66469476556.png da0e7f20d900b724a80f82c3c33f6427.png

می‌دانیم که زوایای B و C متمم یکدیگرند e7ac5aa4d0a7856ce5d44eaa87fe650a.png. پس داریم:


be88d6c31ad79937ca007a97cc6c08d5.png


60c056719f299ac66db942ecd8ccac62.png

تغییرات کسینوس
اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات کسینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:


Cos2.PNG

تابع کسینوس
تابع کسینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه کسینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = cosx گویاست که این تابع متناوب بوده و دوره تناوب آن 2π می‌باشد. تابع کسینوس تابعی زوج می‌باشد.


Cos3.PNG
.................................................. .................................

تانژانت
تانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.

Tan1.PNG

تاریخچه
ظل (از عربی، به معنای سایه) اصطلاحی است که در گذشته در متن‌های اسلامی و ایرانی برای تانژانت در ریاضیات و اخترشناسی به‌کار می‌رفت.
ستاره‌شناسی به نام حبش‌بن حاسب اولین بار در قرن سوم هجری قمری (قرن نهم میلادی) این نسبت مثلثاتی را به کار برد. در گذشته به آن ظل می‌گفتند.



تعریف
تانژانت در مثلث قائم‌الزاویه چنین تعریف می‌شود؛ نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به ضلع مجاور آن.

به عنوان مثال در مثلث روبه‌رو تانژانت زاویه تتا برابر است با
 2851d5ab79a2ee883297aadf08091a29.png.


Tan2.PNG

تابع تانژانت
نمودار تابع تانژانت به شکل زیر است. این تابع:

* پیوسته نیست.
* متناوب است (با دوره تناوب π).
* دارای بینهایت مجانب عمودی است.



Tan3.PNG

شیب خط
در نمودار‌هایی که شکل یک تابع را نشان می‌دهند شیب نمودار (یا خط مماس بر نمودار) در هر نقطه برابر است با تانژانت زاویه‌ای که خط مماس بر آن نقطه از منحنی، با جهت مثبت محور افقی (محور xها) می‌سازد.

Wag_65-1_tangent_line.jpg
.................................................. .........................

کتانژانت
کتانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی است که در ریاضیات و اخترشناسی کاربرد فراوان دارد و در گذشته به آن ظل تمام می‌گفتند.

این نسبت مثلثاتی چنین تعریف می‌شود: نسبت ضلع مجاور به زاویه حاده، به ضلع مقابل آن در مثلث قائم‌الزاویه.





مطالب مشابه :


فرمول های ریاضی و مثلثاتی اکسل

ماهانا - فرمول های ریاضی و مثلثاتی اکسل - MaHaNa - ماهانا




آموزش ریاضی اول دبیرستان فصل4

در این پست براتون یه فایل پر از فرمول های مثلثاتی دبیرستان گذاشته ام که هم ترستون از این درس




فرمول ها و نسبت های مثلثاتی

ریاضیات - فرمول ها و نسبت های مثلثاتی - - ریاضیات این وبلاگ به منظور یادگیری درس ریاضیات




نسبت های مثلثاتی

فرمول های مهم مثلثات برای تبدیل و سینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.




فرمول های مهم مثلثات

سد شکنان سمپاد - فرمول های مهم مثلثات - پاتوق بچه های درس نسبت های مثلثاتی بر حسب




فرمول ها و نسبت های مثلثاتی

,مهدی رضایی کهخا - فرمول ها و نسبت های مثلثاتی فایل اول شامل فرمول ها و روابط کاربردی




برچسب :