چقدر به شهود رياضي خود اعتماد داريد؟


مساله:مستطيل PQRS با طول و عرض به ترتيب 15 و 6 سانتي‌متر را در نظر بگيريد.مساحت مثلث A برابر 4 سانتي متر مربع و مساحت مثلث B برابر 16سانتي متر مربع مي‌باشند. مساحت مستطيل C چقدر است؟

 20071014115914_CUR1.gif 

 شكل 1                    

راه حل اول:مساحت مثلث SQR برابر است با: 45=2/(6×15).بنابراين مساحت مستطيل C چنين محاسبه خواهد شد: 25=4-16-45 .

راه حل دوم:با استفاده از قضيه ي تالس و با توجه به اين كه نسبت مساحت هاي دو مثلث B به A برابر 4 است پس:2=VQ/WS=VX/WX=QX/SX و لذا مساحت C برابر 20 سانتي متر مربع است.

در اين جا مي بينيد كه حل اين مساله به دو جواب مختلف منجر مي شود.اما مشكل كجاست؟

در حقيقت بايد گفت كه با فرض هاي مساله،X نمي تواند بر پاره خط SQ واقع شود.

اگر PT=a و VQ=b قرار دهيم آن گاه 16=2/(ab) و 2007101413407_cur5.gifو لذا خواهيم داشت:20071014134745_cur6.gif.از اين جا دو سري جواب به صورت زير به دست مي آوريم:

2007101414242_cur7.gif و 20071014135618_cur8.gif

20071014141952_cur9.gif و 20071014141312_cur10.gif 

پس شكل مساله با توجه به مفروضات آن به يكي از دو صورت زير رسم مي شود:

  2007101414336_CUR3.gif

شكل 2 

20071014143818_CUR2.gif

شكل 3

مساحت C در شكل 2 برابر 20071014145226_cur11.gif و در شكل 3 برابر 20071014145821_cur12.gif است .

حالت ديگري كه مي توان در نظر گرفت از اين قرار است:(در اين حالت C ديگر مستطيل نيست.)

 20071014151138_CUR4.gif

شكل 4

پارادوكس كيوري(Curry):
طرح مساله ي قبل ما را به سمت پارادوكس مشهوري به ‌نام پارادوكس كيوري سوق مي دهد. در شكل زير در هر دو بخش چنين به نظر مي‌رسد كه يك مثلث قائم الزاويه به دو مثلث قائم الزاويه ي كوچك‌تر و يك مستطيل تقسيم شده است جز اين كه دومي يك واحد مربع كم تر دارد.در اولي مستطيل گوشه ي سمت راست پايين يك مستطيل 5×3 و در دومي يك مستطيل 8×2 مي‌باشد.

20071014153140_cur15.gif 

شكل 5

با مقايسه‌ي شيب وترهاي سه مثلث قائم الزاويه در شكل 5 مي‌بينيم كه:

20071015103857_cur26.gif 

توضيحي كه در مورد اين پارادوكس مطرح مي‌شود اين است كه مثلث بزرگ در واقع يك مثلث نمي‌باشد!وتر مثلث بزرگ شكستگي دارد كه در قسمت بالايي،اندكي متمايل به داخل است در حالي كه در قسمت پاييني،اندكي متمايل به خارج است.

20071014155052_cur13.gif


شكل 6

مساحت بين دو قطعه ي شكسته،برابر 1 واحد مربع است.

طول اضلاع مجاور به زاويه ي قائمه به طور تصادفي انتخاب نشده‌اند.طول اين اضلاع در سه مثلث عبارت هستند از:(2 ، 5) ، (3 ، 8) و (5 ، 13)  كه اعداد فيبوناتچي مي‌باشند.

حالت كلي پارادوكس: 

اعداد فيبوناتچي به صورت زير تعريف مي‌شوند:

 (2007101416396_cur18.gif20071014163245_cur17.gif   و   20071014162625_cur16.gif 

اكنون در شكلي مانند شكل 5، اضلاع مجاور به زاويه ي قائمه ي مثلث ها را به صورت:20071015112313_cur27.gifدر نظر مي گيريم.  

در اين لحظه،توجه شما را به اتحاد كاتالان جلب مي كنيم:

    2007101591617_cur24.gif

در اين رابطه،nوr اعداد طبيعي بوده و n>r است.(براي ديدن اثباتي از اين اتحاد به:www.planetmath.org مراجعه نماييد.)
با قرار دادن 2+n به جاي n و 2=r در اتحاد كاتالان داريم:

(*) 2007101593537_cur25.gif

از طرفي:

(**)   2007101594240_cur19.gif

در روابط (*) و (**) براي n زوج ،هر دو عبارت مثبت خواهند بود و لذا خواهيم داشت: 2007101595353_cur21.gif .

و هم‌چنين براي n فرد،نتيجه مي‌شود كه :2007101510615_cur22.gif.

اين كسرها در حقيقت،شيب سه وتر مثلث هاي قائم الزاويه هستند و همان توضيحي كه در حالت خاص آمد را براي حالت كلي پارادوكس،خواهيم داشت.

توضيح ديگري كه در مورد اين پارادوكس مي توان ارائه كرد بر اساس مقايسه ي مساحت ها است.در قسمت بالايي شكل 5 داريم:5/32=2/(5×13)=مساحت كه برابر است با:

32=5+12+15=مساحت مثلث زرد+مساحت مثلث قرمز+مساحت مستطيل

و اين تناقض است.

در قسمت پاييني شكل 5 نيز با يك روش،مساحت 32 واحد مربع و با روشي ديگر 5/31 واحد مربع مي شود كه تناقض است.

پارادوكس 65=64 :

اكنون بايد قادر باشيد كه مطلب زير را توجيه نماييد: 

 

20071015132910_64=65.gif

 

منبع:

www.math.nus.edu.sg

استفاده از مطالب این وبلاگ با ذکر منبع بلا مانع است.                        

http://www.daneshriazi.blogfa.com


مطالب مشابه :


مثلث زرد رنگ قطع شدن اینترنت

سایت تبلیغ بلاگفا - مثلث زرد رنگ قطع شدن اینترنت - آموزش سئو و بهینه سازی وب سایت




اینترنت در ایران

اینترنت بصورت ‌های گروه تفریح و سرگرمی سپری می‌شود و بسیاری از آنها سایت های زرد مثلث




رام رسمی مخصوص کشور ایران || I9100GJPLPB || آندروید 4.0.4

در این روش مثلث زرد رو برای شما میاره و کانتر گوشیتون یک شماره بالا » اینترنت




چقدر به شهود رياضي خود اعتماد داريد؟

مساله:مستطيل pqrs با طول و عرض به ترتيب 15 و 6 سانتي‌متر را در نظر بگيريد.مساحت مثلث a برابر 4




آموزش تصویری شبکه کردن چند کامپیوتر با استفاده از سوییچ

کار تهای شبکه بیفتد و اگر تنظیمات شبکه هم درست باشند نباید علامت مثلث زرد رنگی اینترنت.




آموزش ایجاد شبكه بین دو لپ تاپ

سپس بعد از تعیین اتصال باید مثلث زرد رنگ از کنار آیکون Wlan آموزش حذف اینترنت اکسپلورر 10 در




نمرات دانش آموزان دوم کامپیوتر در سال تحصیلی94-93

3-رنگ مربع قرمز ورنگ مثلث زرد الف-سبز-قرمز-آبی ب-زرد-قرمز-آبی سرعت اینترنت;




ایجاد شبکه بین ۲ لپ‌تاپ از طریق بی‌سیم (وایرلس)

یک نمونه بزرگ اشتراک گذاری همین اینترنت است که سپس بعد از تعیین اتصال باید مثلث زرد رنگ




برچسب :