تعریف تابع

در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند. یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولید کند. برای مثال با فرض y=x2 با ورودیهای ۵- و ۵ خروجی یکسان ۲۵ را خواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است.

به عنوان مثال تابع f(x)=x2 بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند x

function pic2 تعریف تابع

در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند. با این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم.

فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.

تاریخچه تابع

نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ لایب نیتر مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط لئونارد اویلر در قرن ۱۸ اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط جوزف فوریه بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی سری فوریه دارد.

چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه مجموعه‌ها در قرن ۱۹ پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه x را به عنوان ورودی و y را به عنوان خروجی در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها y,x را عوض می‌کنند.

ورودی تابع

ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع اعداد صحیح باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر عدد مختلط باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با “W” نمایش می‌دهیم. (W = f(z

تعریف روی مجموعه‌ها

یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم:

122 تعریف تابع

این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر ۳، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است

23 تعریف تابع

 

تعریف ساخت یافته تابع

بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعه‌ای از حاصلضرب کارتزین xy می‌باشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند.

خواص توابع

توابع می‌توانند:

توابع چند متغیره

یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال e49142e85e08708c7b20b454d4c113f5 تعریف تابع یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر b7faafe8896e6f2b6cba543d4a3b02d8 تعریف تابعو 03cde25658ec07ac6b75621bf893fa43 تعریف تابع و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام 1167e4d24d34c39386f7d089a88eb2af تعریف تابع در آن وجود دارد.

41a913ec9bebb95ca0bb1fd9ed5f5061 تعریف تابع

با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد

p5(darouni) تعریف تابع

مثلث متساوی الاضلاعی را در نظر بگیرید. وسط های ضلع های آن را به هم وصل کنید ومثلث متساوی الاضلاعی که در وسط پدید می آید را از آن حذف نمائید .

p51 تعریف تابع

اکنون سه مثلث متساوی الاضلاع باقی مانده در شکل را در نظر بگیرید ,وسط های ضلع ها را در هر مثلث به هم وصل کرده واز درون هر یک, مثلث متساوی الاضلاعی که در وسط پدید می آید را حذف نمائید .

p52 تعریف تابع

با تکرار این روش در دو گام بعدی این شکل ها حاصل می شوند :

 

p53 تعریف تابع

 

p54 تعریف تابع

اگر این فرآیند را تا بی نهایت تکرار کنیم شکل به دست آمده را مثلث سیرپینسکی گویند .

p55 تعریف تابع

مـثلـث سـیــر پیـنـســکــی

اگر به شکل فوق دقت کنیم در می یابیم که مثلث سیرپینسکی حاوی کپی هایی کوچک تر از خود است که این کپی ها هم اندازه بوده و آن را می سازند . مثلا” همان طور که در شکل مشخص شده است مثلث سیرپینسکی حاوی ۳ کپی کوچک تر از خود است که این کپی ها هم اندازه بوده و آن  را می سازند و اگر این کپی ها را ۲ برابر بزرگ کنیم بر مثلث سیرپینسکی منطبق خواهند شد .

در هندسه این خاصیت را خود شبیهی و کپی های فوق را قطعه های خود شبیه و میزانی که کپی ها باید بزرگ شده تا بر شکل  منطبق شوند را ضریب بزرگ نمایی گویند .

چند مثال دیگراز خود شبیهی :

p59 تعریف تابع   p58 تعریف تابع p57 تعریف تابعp56 تعریف تابع
عدد طبیعی و دلخواه p591 تعریف تابعرا در نظر بگیرید.

پاره خط دلخواهی را در نظر بگیرید و آن را به N قسمت مساوی تقسیم نمائید ,

p592 تعریف تابع

که در آن M=N عبارت است از تعداد قطعه های خود شبیه پاره خط .

مربع دلخواهی را در نظر بگیرید و هر ضلع آن را به N قسمت مساوی تقسیم نمائید تا p593 تعریف تابع قطعه خود شبیه مربع داشته باشیم .

p594 تعریف تابع

( دو نمونه از این شکل ها)

p595 تعریف تابع

مکعب دلخواهی را در نظر بگیرید و هر یال آن را به N قسمت مساوی تقسیم نمائید تا p596 تعریف تابع قطعه خود شبیه مکعب داشته باشیم .

p597 تعریف تابع

( حالتp598 تعریف تابع )

p599 تعریف تابع

تعریف : برای شکل  هندسی دلخواهی که خاصیت خود شبیهی دارد, بعد عبارت است از:

p5991 تعریف تابع

که در آن Mبرابر تعداد قطعه های خود شبیه شکل با ضریب بزرگ نمایی N .

این تعریف تصورهای قبلی ما مبنی بر این که پاره خط , مربع و مکعب به ترتیب  ۲,۱ و۳ بعدی هستند (چنان که در فوق دیدیم) را تائید می کند .

حال بعد مثلث سیرپینسکی را محاسبه می کنیم :

p5993 تعریف تابع

p5992 تعریف تابع

که تقریبا” برابر ۵۸/۱ است .

اگر به این بحث علاقمند شدید , لازم است بدانید که  شکل های با خاصیت خود شبیهی  نقش انکارناپذیری در رایانه, هنروپزشکی دارند .


مطالب مشابه :


توزیع پیوسته یک متغیره

چگالی احتمال توابع چند متغیره. X n همچنین این امکان وجود دارد که یک تابع چگالی چند متغیره




حساب توابع چند متغیره

به دنیای زیبای ریاضی خوش آمدید - حساب توابع چند متغیره - رياضيات سلطان




تعریف تابع

توابع چند متغیره. یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از f است که




تابع

توابع چند متغیره یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از f است که




مسائل منتخب کتاب "توابع چند متغیره و آنالیز برداری"

لذت ریاضیات - مسائل منتخب کتاب "توابع چند متغیره و آنالیز برداری" - مقالات و زیبایی های ریاضی




آشنایی با کتابهای آنالیز ریاضی

در چاپ های بعدی مطالب مربوط به توابع چند متغیره تقریبا" به طور کامل، با توضیحات بیشتر




سر فصل درس ریاضی کاربردی - کاردانی کامپیوتر

فصل دوم: توابع چند متغیره 1-2- تعریف توابع چند متغیزه 2-2- حد و پیوستگی 3-2- تعریف مشتقهای جزئی




دانلود مروری بر آنالیز عددی

خطای نسبی در محاسبه توابع چند متغیره پایداری روشهای جزوه روش های انتگرال گیری از توابع ;




تعریف تابع

توابع چند متغیره یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از f است که




تابع

توابع چند متغیره . یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از f است که




برچسب :