سری فوریه و تیلور

ژوزف فوریه

ژان باپتیست ژوزف فوریه

متولد	۲۱ مارس ۱۷۶۸ اوسر , فرانسه
مرگ	۱۶ مه ۱۸۳۰ پاریس , فرانسه
رشته فعالیت	ریاضیات, فیزیک و تاریخ
استاد راهنما	ژوزف لویی لاگرانژ
دلیل شهرت	سری فوریه تبدیل فوریه آنالیز فوریه

ژان باپتیست ژوزف فوریه (به فرانسوی: Joseph Fourier)‏ (متولد ۲۱ مارس ۱۷۶۸ در اوسر؛ درگذشتهٔ ۱۶ مه ۱۸۳۰ در پاریس)، ریاضی‌دان و فیزیک‌دان فرانسوی.

پدر فوریه به خیاطی اشتغال داشت و زمانی که وی هشت سال بیشتر نداشت، از دنیا رفت. فوریه در مدرسه نظامیِ زادگاه‌اش شروع به تحصیل کرد. او در ۱۸ سالگیش در همین دانشگاه به تدریس ریاضی مشغول شد و با به وقوع پیوستن انقلاب فرانسه از آن حمایت کرد. در دوران ترور مدتی به زندان افتاد، اما بعدا در سال ۱۷۹۵ آزاد شد و به استخدام اکول نرمال سوپریور درآمد. وی از سال ۱۷۹۷ به عنوان جانشین لاگرانژ در اکول پلی‌تکنیک به تدریس مشغول شد.

فوریه اواخر قرن هجدهم، ناپلئون بناپارت را در لشکرکشی به مصر همراهی می‌کرد . وی در مصر به عنوان فرماندار مصر سفلی و نیز دبیر بنیاد مصرشناسی مشغول بود. پس از بازگشت فوریه از مصر، در سال ۱۸۰۱ او به عنوان فرماندار ایزر (Isère) منصوب شد و در سال ۱۸۰۸ به لقب بارون دست یافت. از سال ۱۸۲۲ و تا پایان عمرش در سمت دبیر دائمی فرهنگستان علوم فرانسه قرار داشت.

فوریه در زمینه فیزیک بر روی انتقال گرما تحقیق می‌کرد و قانون فوریه در این زمینه از او به جای مانده‌است. فوریه همچنین کاربردهای سری فوریه در زمینه انتقال گرما و نیز ارتعاشات را معرفی کرد.

فوریه در سال ۱۸۳۰ و در ۶۲سالگی از دنیا رفت. جسد وی در گورستان پر-لاشز دفن شده است. فوریه یکی از ۷۲ نفر فرانسوی است که نام آنها بر روی برج ایفل حک شده است.

سری فوریه

تبدیل فوریه

در ریاضیات، سری فوریه، تابعی است که با استفاده از آن می توان هر تابع متناوب را به صورت جمعی از توابع نوسانی ساده(سینوسی، کسینوسی و یا تابع نمایی مختلط ) نوشت.این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه های بسامدی آن تابع به دست می آید.

پیش گفتار

توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.
فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده است:

$x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k) \,\!$

که در آن یک عدد صحیح مثبت، دامنه ، $\omega_k$ بسامد و $\theta_k$ فاز توابع کسینوسی می باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها $\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N$ ، دامنه‌ها $A_1, A_2 \ldots A_N$ و فازها $\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N$ تابع یه طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است..

نمایش‌های مختلف سری فوریه

نمایش مثلثاتی

اگر $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ یک تابع متناوب با دوره تناوب باشد (یا به عبارتی: ‎‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$f(t) = a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)] \,\!$

که در آن $\omega_n$ هارمونیک nام سری فوریه به رادیان بوده و ضرایب ، و را می‌توان از فرمول‌های اولر بدست آورد.
فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نمیباشد. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

$\int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx <\infty$

تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه دارد.
تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی دارد.

نمایش مختلط

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t} \,\!$

و در اینجا:

$c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt \,\!$

این رابطه با کمک ‎‎فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t) \,\!$

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

$c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n) \,\!$ $c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n) \,\!$

نمایش کسینوس-با-فاز

نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی ‏(به انگلیسی: ‏line spectra)‏ استفاده می‌شود.

$x = {a_0} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k) \,\!$

محاسبه ضرایب فوریه

نمایش مثلثی

نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همانطور که گفته شد دوره تناوب و ${\omega_n}$ هارمونی nام تابع میباشد. در تبدیل فوریه سه ضریب و و ضریب ثابت مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

$a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx \,\!$ $a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots \,\!$ $b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots \,\!$

بازه [ $\pi , \pi$ -] یا در کل بازه هایی که طول آنها $2\pi$ است از مهمترین بازه هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده میشود. بدین ترتیب $p = 2\pi$ پس ضرایب عبارتند از:

$a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \,\!$ $a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx \,\!$ $b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx \,\!$

بسط تیلور

هر چه درجه چند جمله ای تیلور افزایش پیدا کند، دور نقطه گسترش، تابع تقریب تیلور به تابع اصلی نزدیک‌تر می‌شود. این تصویر $\sin(x)$ و تقریب های تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13 را نشان می‌دهد.

تابع نمایی (به رنگ آبی) و مجموع n+1 جمله اول سری تیلور دور نقطه 0 (به رنگ قرمز)

در ریاضیات، سری تیلور یا گسترش تیلور (به انگلیسی: Taylor series)‏ نمایش یک تابع به صورت مجموع بینهایت جمله است که از مشتق‌های تابع در یک نقطه به دست می‌آید. ریاضیدان انگلیسی، بروک تیلور، در سال 1715 میلادی، مفهوم سری تیلور را به طور رسمی معرفی کرد. بروک تیلور(به انگلیسی: Sir Brook Taylor)‏ عضو انجمن سلطنتی (۱۸ اوت ۱۶۸۵ – ۳۰ نوامبر ۱۷۳۱) ریاضی‌دان انگلیسی بود که به علت قضیه تیلور و سری تیلور‌ مشهور است.اگر سری را دور نقطه صفر گسترش دهیم، سری به سری مکلارن نیز معروف است که به نام ریاضیدان اسکاتلندی، کالین مکلارن، که در قرن 18ام استفاده بسیاری از این حالت خاص سری تیلور کرد، نام گزاری شده است. مرسوم است که توابع را حول یک نقطه با تعدادی متناهی از جملات سری تیلور تقریب بزنند. قضیه تیلور مقدار خطای این تقریب زنی را به صورت کمّی تخمین میزند. هر تعداد متناهی از جملات اول سری تیلور به چندجمله‌ای تیلور معروف است. سری تیلور یک تابع، حد چندجمله‌ای های تیلور آن است (اگر حد وجود داشته باشد.) یک تابع ممکن است با سری تیلورش برابر نباشد حتا اگر سری تیلور آن در هر نقطه همگرا باشد. تابعی که در یک بازه‌ی باز (یا یک دیسک در صفحه مختلط) با سری تیلورش برابر باشد، تابع تحلیلی خوانده میشود.

تعریف

سری تیلور یک تابع با مقادیر حقیقی یا مختلط که در همسایگی نقطه حقیقی یا مختلط بینهایت بار مشتق‌پذیر است، سری توانیِ زیر است:

$f(x)= f(x_0)+\frac{f'(x_0) (x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+...$

که میتوانیم آن را خلاصه‌تر عملگر سیگما بنویسیم:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

که در اینجا

به معنی فاکتوریل عدد

و $f^{(n)}(x_0)$ به معنی مشتق

اُم تابع

در نقطه

است. طبق تعریف مشتق 0-اُم هر تابع خودش است و

هر دو برابر 1 اند. اگر

باشد، سری همان سری مکلارن است.

اثبات

فرض کنید میخواهیم تابعی چندجمله‌ای مثل مدلسازی کنیم که در همسایگی نقطه با تابع یکریخت باشد. یکم اینکه باید مقدار تابع در نقطه با برابر باشد پس داریم: تا اینجا داریم و اکنون برای اینکه تابع در همسایگی نیز شبیه شود باید مشتق‌های آن در این نقطه با مشتق‌های برابر باشد. مشتق‌های را به صورت مضاربی از x به اضافه میکنیم به طوری که: (1) در نقطه‌ی برابر صفر باشند تا مدل به هم نخورد و (2) مشتق i-اُمِ برابر با مشتق i-اُمِ باشد. برای برقراری شرط یک و دو کافی‌ست مقدار عددی مشتق i-اُمِ را به ضریبِ $\frac{(x-a)^i}{i!}$ قرار دهیم. در این صورت این مقدار تا مشتق i-اُم صفر باقی خواهد ماند و چون در هر مشتق این مقدار در توانِ صورت ضرب میشود هنگامِ گرفتن مشتق i-اُم خواهیم داشت $P^{(i)}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f^{(i)}(a))(i!)\frac{(x-a)^i}{i!}=f^{(i)}(a)$ . اگر اضافه کردن مشتقات را تا ابد ادامه دهیم تابع بیشتر شبیه شده تا در بینهایت هم‌ارز خود شود.

$f(x) \sim P(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots.$

یا همان:

$f(x) \sim P(x)= \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}$

گاهی در گرفتن حد، از یک یا دو جمله اول گسترش تیلور یک تابع دور نقطه حدگیری، به عنوان یک هم‌ارزی استفاده میکنند. به عنوان مثال در گسترش تیلور تابع دور نقطه 0 داریم:

$\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!$

پس در حد گرفتن هرجا در کمان به صفر میل کند داریم:

$\sin (x) \sim x - \frac{x^3}{3!}$

نمونه

$f (x)=e^{2x}$

در همسایگی ۱- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.

می‌توان گفت:

$e^{2x}= \frac{(1)}{(e^2)}+\frac{(2)(x+1)}{(1!)(e^2)} +\frac{(2^2)(x+1)^2}{(2!)(e^2)}+\frac{(2^3)(x+1)^3}{(3!)(e^2)}+...$

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{(2)^{(n)}}{((n)! e^2)} (x+1)^{n}$

همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .

موارد پر کاربرد

تابع نمایی $e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ for all } x\!$ لگاریتم $\log(1-x) = - \sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ for } -1\le x<1$ $\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }-1<x\le1$ دنبالهٔ هندسی متناهی $\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } x \not= 1\text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!$ دنبالهٔ هندسی نامتناهی $\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ for }|x| <1\!$ متغیرهای دنبالهٔ هندسی نامتناهی $\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^{-n}\text{ for }|x|> 1\!$ $\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for }|x| <1 \text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!$ $\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ for }|x| <1\!$ $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^{n-1}\quad\text{ for }|x|> 1\!$ ریشهٔ مربع $\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\text{ for }|x|\le1$ بسط دو جمله‌ای $(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all }|x| <1 \text{ and all complex } \alpha\!$ توابع مثلثاتی $\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!$ $\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ for all } x\!$ $\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!$ $\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!$ $\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!$ $\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!$ $\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!$ توابع هذلولی $\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ for all } x\!$ $\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ for all } x\!$ $\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!$ $\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!$ $\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ for }|x| <1\!$

سری فوریه و تیلور

ژوزف فوریه

سری فوریه

پیش گفتار

نمایش‌های مختلف سری فوریه

نمایش مثلثاتی

نمایش مختلط

نمایش کسینوس-با-فاز

محاسبه ضرایب فوریه

نمایش مثلثی

بسط تیلور

تعریف

اثبات

نمونه

موارد پر کاربرد

منابع: از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

مطالب مشابه :

بسط و سری

بسط تیلور

بسط تیلور سینوس و کسینوس

سری فوریه و تیلور

برنامه بسط تیلور

انواع تابع

اعداد مختلط

منابع:
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد