.:: معادله های خطی ::.

.:: معادله های خطی ::.

 

معادله خط: (Line   equation) رابطه ی بین طول (X) و عرض (Y) نقاط واقع بر یک خط را معادله ی آن خط می گویند که به صورت یک تساوی نوشته می شود .

 

مثال: به خط L توجه کنید . نقاط p15.jpg روی این خط قرار دارند .مشاهده می کنیم که طول و عرض این نقاط با هم مساویند . هر نقطه ای که طول و عرض آن مساوی باشد بر خط L قرار می گیرد و هر نقطه ای که روی خط L باشد طول و عرض آن مساوی است.

       p16.jpg

اگر طول هر نقطه را با X و عرض آن را با Y نشان دهیم ، رابطه Y=X را معادله ی خط (L) می نامیم. این تساوی، رابطه ی بین طول و عرض نقاط را مشخص می کند.

 

انواع خط:

در هر یک از تصاویر زیر به خط رسم شده توجه کنید .مختصات نقاط داده شده از خط را بیان کنید و معادله ی خط را بنویسید.

 تصویر 1:

p18.jpg

 حل:   p19.jpg

نکته: این نوع خط ها موازی محور طول ها هستند و معادله ی آن ها به صورت Y=b نوشته می شود . (b یک عدد ثابت برای همه ی نقاط می باشد.)

مانند   1=Y=-2  ،    y و ........◦


تصویر2:  

p20.jpg

حل:  p21.jpg

نکته: این نوع خط ها موازی محور عرض ها هستند و معادله ی آن ها به صورت x=a نوشته می شود. (a یک عدد ثابت برای طول همه ی نقاط می باشد.)

مانند   1=X=-2  ،    X و ........◦


تصویر3: 

p22.jpg

حل:  p23.jpg

نکته: این نوع خط از مبدأ مختصات می گذرد و معادله ی آن به صورت  Y=mx نوشته می شود.

مانند:    p24.jpg


 تصویر 4:  

p25.jpg

حل:  p26.jpg

نکته: این نوع خط نه موازی محوری است، نه از مبدأ مختصات می گذرد و معادله ی آن به صورت Y=mx+n می با شد. مانند:

p27.jpg


دانش آموزان عزیز: انواع دیگری از خط را که به نظرتان می رسد در یک صفحه ی مختصات رسم کنید و در مورد معادله خط مربوط به هر کدام تحقیق کنید.

 

صورت استاندارد معادله خط:

هر رابطه ی درجه ی اول بین X و Y مانند: 1-Y=2x و 6=3x+Y را معادله ی خط گو یند صورت استاندارد معادله ی خط   Y=mx+n می باشد که در آن m و n دو عدد معلوم و مشخص هستند.صورت دیگر معادله ی خط ax+by=c   می باشد که در آن c و b و a سه عدد معلوم می باشند که با هم صفر نیستند و آنرا معادله ی خطی یا معادله ی ضمنی می نامند.

 

رسم خطی که معادله ی آن داده شده است:

برای رسم یک خط راست به ترتیب زیر عمل می کنیم .

الف:مختصات دو نقطه ی دلخواه آن خط را پیدا می کنیم .

ب:جای این دو نقطه را درصفحه ی مختصات مشخص می کنیم .

ج: این دو نقطه را به هم وصل کرده از دو طرف امتداد می دهیم.

 

مثال:در هر یک از تصاویر زیر معادله ی یک خط داده شده است. نمودار هر یک از خط های داده شده را رسم کنید.  

 

 تصویر 1:      Y=۲x+۵

حل:ابتدا عدد های مختلفی به x می دهیم و عدد های نظیر آن ها را برای y به دست می آوریم.

p29.jpg

 

p30.jpg        

 


 

تصویر 2:      x+۲y=۴

حل:پیشنهاد:در این معادله ،ابتدا به x عدد صفر را می دهیم و جواب نظیر آنرا برای y بدست می آوریم و سپس بر عکس عمل می کنیم ،به yعدد صفر می دهیم و جواب نظیر آنرا برای x بدست می آوریم.

   p31.jpg

 


 

تصویر 3:      p32.jpg

پیشنهاد: در این معادله، ابتدا به X عدد صفر را می دهیم و جواب نظیر آن را برای Y بدست می آوریم و سپس به X عدد 3 را می دهیم، (مخرج کسر) وجواب نظیر آن را برای Y بدست می آوریم.

    p33.jpg

 


 

تصویر 4:      p34.jpg

حل: این معادله را می توانیم به صورت استاندارد بنویسیم و سپس آن را رسم کنیم:

    p35.jpg

 


 

تصویر 5:   y=۳

حل: این معادله نشان می دهد که عرض همه ی نقاط برابر 3 می باشد.

p36.jpg

 


 

تصویر 6:   X=-۲

حل:این معادله نشان می دهد که طول همه ی نقاط برابر 2- می باشد

p37.jpg

 


شیب خط: (gradient of a line)     

شیب به معنی سرازیری است (مقابل فراز) و در ریاضیات هر چه زاویه ای که خط با محور افقی می سازد بیشتر باشد ، شیب خط بیشتر است و بر عکس هر چه زاویه ای که خط با محور افقی می سازد کمتر باشد ، شیب خط نیز کمتر است.

در این پارک کدام سرسره شیب بیشتری دارد ؟  

p38.jpg

در صفحه ی مختصات زیر کدام خط شیب بیشتری دارد؟     

   p39.jpg

با توجه به خط های بالا y=۳x بیشترین شیب را دارد در مقایسه ی ضریب x مشاهده می کنیم که p40.jpg     می باشد یعنی: هر چه ضریب x بیشتر باشد شیب خط  بیشتر است و هر چه ضریب x کمتر باشد شیب خط کمتر است به طور کلی می توان گفت: اگر معادله ی خطی به صورت y=ax+b نوشته شود، عدد a که ضریب x      می باشد، شیب خط نام دارد .

 

عرض از مبدأ: (y-intercept)

فاصله ای که خط از مبدأ گرفته و محور عرض ها را قطع می کند را عرض از مبدأ خط می گویند.

به عبارت دیگر: عرض نقطه بر خورد خط با محور y ها را عرض از مبدأ گویند.

در صفحه ی مختصات زیر محل بر خورد هر خط با محور عرض ها مشخص شده است.

       p41.jpg

اکنون نقطه های A و B و C را با معادله ی مربوط به هر خط مقایسه کنید.

p42.jpg

به طور کلی می توان گفت :عدد b در معادله ی y=ax+b را عرض از مبدأ این خط می نامیم .اگر خط از مبدأ مختصات بگذرد عرض از مبدأ آن صفر می شود و معادله ی خط به صورت y=ax در می آید. 

 

 

nokat.jpg

 

1- اگر مختصات یک نقطه در معادله خط صدق کند, آنگاه آن نقطه متعلق به خط می باشد.

مثال: آیا نقطه 43.jpg روی خط 44.jpg قرار دارد؟

حل: بله نقطه A روی خط واقع است. اگر به جای y و x در معادله خط طول و عرض نقطه را قرار دهیم, به یک رابطه درست می رسیم.44.jpg

 

45.jpg

 

 2-  دو خط 46.jpg را در نظر می گیریم: 

الف) دو خط بر هم منطبق اند, اگر 'b=b' , a=a باشند.

ب) دو خط با هم موازی اند, اگر 'b≠b' , a=a .

ج) دو خط بر هم عمودند, اگر 1-='a×a

 

مثال: دو خط y=5x+2 و y=5x+2 برهم منطبق هستند.

       دو خط y=5x+2 و y=5x-1 باهم موازی هستند.

       دو خط y=5x+2 و 47.jpg بر هم عمود هستند.

 

3- شیب خطی که از دو نقطه ی48.jpg می گذرد،از رابطه ی زیر بدست می آید:

49.jpg

 مثال:در شکل مقابل شیب خط (d) را حساب کنید.  

    50.jpg

 

4- معادله ی خطی که از مبدأ مختصات و نقطه ی 51.jpg می گذزد ، به صورت 52.jpg می باشد.

 

مثال:معادله ی خطی را بنویسید که از مبدأ مختصات و نقطه ی 53.jpg می گذرد؟

 

حل: معادله ی خطی که از مبدأ مختصات می گذرد به صورتy=ax می باشد، و با توجه به نکته ی قبل می توان شیب خط را مشخص کرد.  54.jpg

 

5- معادله خطی که شیب آن a باشد و از نقطه ی 55.jpg بگذرد ،از رابطه ی زیر بدست می آید: 

    56.jpg

مثال:معادله ی خطی را بنویسید که شیب آن 2 باشد و از نقطه ی 57.jpg بگذرد.

 

حل:(y-(-۱)=۲(x-۱         

     y+۱=۲x-۲

    y=۲x-۲-۱

    y=۲x-۳

 

6- معادله ی خط محور طول ها به صورتy=0 و معادله خط محور عرض ها به صورت ◦ = x می باشد.

 

7- اگر در هر معادله ی خط به طول مقدار صفر بدهیم ، انگاه برای عرض مقداری مشخص می شود که «عرض از مبدأخط»می باشد و اگر در یک معادله ی خط به عرض مقدار صفر بدهیم ،آنگاه برای طول مقداری مشخص می شود که «طول از مبدأخط »می باشد.

مثال:عرض از مبدأ و طول از مبدأ خط 58.jpg را بدست آورید.

 59.jpg

 

60.jpg

 

 

بنابراین نقاط 61.jpg محل بر خورد این خط با محور های مختصات را نشان می دهد و می توان گفت که :عرض از مبدأ این خط 3- و طول از مبدأ آن 2 می باشد. 

8- معادله خطی که طول از مبدأ و عرض از مبدأ آن A و B باشند به صورت زیر است: 

     62.jpg

 مثال:با توجه به شکل مقابل به سئوالات داده شده پاسخ دهید.

 63.jpg

الف)عرض از مبدأ خط  ( d ) را بنویسید.

ب)طول از مبدأ خط ( d ) را بنویسید.

ج)شیب خط ( d ) را مشخص کنید.

د)معادله خط ( d ) رابنویسید.

 

حل:

الف) چون خط محور عرض ها را در نقطه 64.jpg قطع می کند, بنابراین عرض از مبدأ خط 3 است.

ب) چون خط محور طول ها را در نقطه 65.jpg قطع می کند, بنابراین طول از مبدأ خط 2- است.

ج) شیب خطی که از دو نقطه B,A عبور می کند, برابر است با:

66.jpg

د) معادله خط (d) برابر است با:

67.jpg 

 

69.jpg9- فاصله مبدأ مختصات تا نقطه 68.jpg از رابطه مقابل بدست می آید:

مثال: فاصله نقطه 70.jpgرا از مبدأ مختصات بدست آورید.

حل: با توجه به رابطه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه 71.jpg می توان نوشت:

73.jpg72.jpg

 

10- فاصله دو نقطه 74.jpg و 75.jpg از رابطه مقابل بدست می آید:76.jpg

 

مثال: فاصله دو نقطه 77.jpg و 78.jpg را بدست آورید:

79.jpg

حل:رابطه ی فیثاغورس    80.jpg

 

 

 

 

 

 

11- اگر معادله خط به صورت Ax+By+c=0 باشد, آنگاه:

81.jpg

مثال: شیب خط, عرض از مبدأ و طول از مبدأ خط 3y+۲x-۳=◦i را بدست آورید.

         حل:2x + ۳y - ۳ = ◦i => A = ۲ , B = ۳ , C = -۳

82.jpg

 

12- دو خط A'x + B'y + c' = ◦ , Ax + By + c = ◦i را در نظر می گیریم:

الف) اگر 83.jpg باشد, دو خط برهم منطبق هستند.

ب) اگر 84.jpg , دو خط با هم موازیند.

ج) اگر AA' + BB' = ◦i باشد, دو خط بر هم عمودند.

مثال: مقدار m را چنان تعیین کنید که دو خط زیر بر هم عمود باشند.85.jpg

 

حل:

86.jpg

 

 


مطالب مشابه :


شیب خط

منشور علم - شیب خط - - منشور علم با بررسی یک خط (بردار) روی دستگاه محورهای مختصات شما می




.:: معادله های خطی ::.

شیب خط: (gradient of a line) شیب به معنی سرازیری است (مقابل فراز) و در ریاضیات هر چه زاویه ای که خط با




شیب خط

شیب خط: (gradient of a line) شیب به معنی سرازیری است (مقابل فراز) و در ریاضیات هر چه زاویه ای که خط با




آموزش ریاضی سوم - معادله خط

شیب خط: (gradient of a line) شیب به معنی سرازیری است (مقابل فراز) و در ریاضیات هر چه زاویه ای که خط با




آموزش مقدماتی رگرسیون با نرم افزار اکسل

گزینه چهارم برای رسم خط در فضای مقابل fx فرمول مورد نظر نوشته شده است و شیب خط در




انیمیشن مفهوم شیب خط پایه سوم

ریاضی متوسطه دوره اول - انیمیشن مفهوم شیب خط پایه سوم - ریاضی و مدرسه - ریاضی متوسطه دوره اول




فلش های آموزشی (شیب و معادله خط)

مباحث متنوع رياضي و . . . - فلش های آموزشی (شیب و معادله خط) - ياد داشت هاي روزانه علیرضا حافظی




معادله ی خط

شیب خط: (gradient of a line) شیب به معنی سرازیری است (مقابل فراز) و در ریاضیات هر چه زاویه ای که خط با




انیمیشن مفهوم شیب خط پایه نهم

شیب خط یعنی نسبت تفاضل عرض های دو نقطه (روی خط) به تفاضل طول های همان دو نقطه. در تصویر زیر




برچسب :