نکات آموزشی تابع نمایی ولگاریتم

                                                                  بسمه تعالي

نكات كمك آموزشي تابع نمايي وتابع لگاريتم رياضي2

 

تابع نمايي: به توابعي باضابطه ي f(x)=ax كه درآنa ،عددي مثبت ومخالف صفر است ،تابع نمايي گوييم (به وضوح ميتوان ديد تابع نمايي كه تابعي همواره مثبت است .

نمودار تابع y=ax باشرط 1 <a به صورت روبه رو است :             

 

 


ونمودار تابع y=ax با شرط 1 > a > 0 به صورت مقابل مي باشد.

 

 

نكته :صعود ونزول در توابع نمايي

1)      در تابع y=ax با شرط 1 < a ،با افزايش x، مقدار تابع هم زياد مي شود

 مثال - براي تابع x 2 = y داريم  :                                     

 

2)     در تابع y=ax با شرط 1 >a > 0 با افزايش مقدار x ، مقدار تابع كم مي شود

مثال – براي تابع داريم:                                                15 <17                                                                         

 

دامنه وبرد توابع نمايي:

درتابع نمايي f(x)=ax ، x هرمقدار حقيقي مي تواند باشدوبا توجه به نمودار به وضوح مقدار تابع هر عدد حقيقي مثبت مي تواند باشد پس دامنه وبرد :                                        و   

 

به طور مثال برد تابع    1 y= 2x+1+ خواهد شد: 

                                                               1<y 1 <  1+    x+1  0<  x+1 2   0< x 2

 

نامساوي ميانگين هندسي وحسابي : دونامساوي زير كه به نامساوي ميانگين حسابي وهندسي مشهور هستند در محاسبه برد توابع نمايي كاربرد زيادي دارند .

                                                                                                               2 ≤a + b 0bو0≤a  (1

 

                                                                                      2- ≥ a+b      0≥b و  0 ≥ a   (2

مثال: برد تابع –x+3 2 + x+1 2 = f(x) راحساب كنيد.

                                                          (  و8]=  2  -x+32 + x+1 2

تعريف لگاريتم : تابع نمايي xa =y يك تابع يك به يك است بنابراين وارون پذير است .وارون اين تابع ، تابع لگاريتم نام دارد وبه صورت  مي باشد.

 

نكته: چون لگاريتم يك تابع يك به يك است داريم:                    

 

قانون تغيير مبنا: يكي از قوانين مفيد لگاريتم قانون تغيير مبنا ست .            

نتيجه1: درحالت خاص 10=c به تساوي      مي رسيم.

نتيجه2: با استفاده از نتيجه 1 داريم:                       

نتيجه3: با تركيب قانون  ونتيجه 1 به دست مي آوريم:          

 

مثال: مقدار    را حساب كنيد.

           

                                                    

 

نكته: مي دانيم اگر آن گاه b = xa با جای گذاری مقدار اولیه x در تساوی دوم به دست

می آوریم.                    

مثال:                                                                                          

 


نمودار تابع لگاریتم

1 ) حالت اول مبنای بزرگتر از یک باشد.  ( 1 < a )                                                                  

 


2) مبنا بین صفر ویک باشد .   ( 1 > a > 0 )                                              

 

در هر دو حالت نمودار تابع با توجه به این واقعیت به دست می آید که تابع لگاریتم وارون تابع نمایی است ونمودار آن

قرینه ی نمودار تابع نمایی نسبت به نیمساز ربع اول وسوم است.

 

دو نکته ی مهم در قوانین لگاریتم :

 

                                        (2                                      ( 1

 

 

تابع نمايي طبيعي:

تابع تابع نمايي طبيعي گفته مي شودكه وارون آن تابع f(x)=lnx به ازاي1 x= داراي مقدار صفر است.

 به طور يكنوا به سمت بينهايت صعود مي كند ولي شيب آن ، ،تابعي نزولي است، وبه ازاي مقادير مثبت x

كه كوچكتر از 1 باشند ، lnx منفي وln است، بنابر اين وقتي ، lnx به سمت بي نهايت منفي مي رود

به علت يكنوايي y=lnx مي توانيم تابع وارون x=E(y)  رادر نظر بگيريم كه نمودارش (شكل 2) به طريق معمول از نمودار y=lnx به دست مي آيد (شكل 1) ،و به ازاي همه مقاديرy بين تعريف مي شود.وقتيy به مي گرايدمقدار E(y) به صفر ميل مي كند ،و وقتي y به مي گرايد E(y) به ميل

مي كند.

         

                y=logx                                                                                                                 x=E(y)

 

 

 

 

                     شكل (1)                                                                                        شكل (2)

 

تابع E ويژگي بنيادي زير را دارد :به ازاي هرجفت از مقدارهاي a,b داريم: E(a).E(b)=E(a+b)      

اگر قرار دهيم:                             E(A)=z  ,E(b)=x           ( يعني      (a=lnz     ,  b=lnx  داريم:

                                                                                                                    Lnx+lnz = b+a  Ln xz=

 

وبنابراين              E(b+a)= xz = E(a ).E(b)   است.چون بنا به تعريف داريم 1 = ln e پس:   e = (1 ) E و

 ( 2 ) E = (2 ) E ( 1 ) E = 2e وغيره. به طور كلي به ازاي هر عدد صحيح n :         ne = ( n ) E  همين طور ،در نتيجه ؛ از اين رو با قرار دادن به ازاي هر عدد گوياي r داريم :    re = ( r ) E  پس مناسب است توان گنگ عدد e را با قرار دادن   ey=E(y)     به ازاي هر عددحقيقي y تعريف كنيم زيرا تابعE به ازاي همه مقدارهاي y پيوسته است وبه ازاي y هاي گويا با مقدار ye

يكسان است. حال مي توانيم قانون بنيادي در مورد تابع E يا ،چنان كه معروف است،تابع نمايي را با رابطه :

                                                                                                                                       a+b e = bea e

بيان كنيم كه براي مقادير گنگ ياگوياي دلخواه a,b برقرار است.

در همه ي اين بحثها لگاريتم وتابع نمايي را به عدد e مربوط ساخته ايم يعني e را" پايه" يا "پايه طبيعي " لگاريتم گرفته ايم .گذار از پايه e به هر عدد مثبت ديگر به آساني انجام مي شود . براي اين كار ،نخست با در نظر گرفتن لگاريتم (طبيعي ) :     داريم :           سپس  را با عبارت مركب

 تعريف مي كنيم .مثلاً     10 xlne = x 10 تابع وارون xa را لگاريتم در پايه a مي ناميم وفوراً ملاحظه مي كنيم كه لگاريتم طبيعي z برابر است با x ضربدر  ؛ به عبارت ديگر ، لگاريتم هر عدد z در پايه a با تقسيم لگاريتم طبيعي ثابت a به دست مي آيد . به ازاي 10 = a ، اين عدد ثابت (تا چهار رقم معني دار) برابر است با :                  303/2 = 10 ln

                                       

 

                                            

 


مطالب مشابه :


نمونه سوال لگاریتم

ریاضی - نمونه سوال لگاریتم - سیری در ریاضی شهرک امام خمینی - نمونه سوالات پيام




نمونه سوالات لگاریتم تستی

کلاس سوم ریاضی 2 دبیرستان شاهد رازی - نمونه سوالات لگاریتم تستی -




سوالات کنکور برای لگاریتم و توابع درجه 2

گروه ریاضی مراغه - سوالات کنکور برای لگاریتم و توابع درجه 2 - گروه ریاضی مراغه




نکات آموزشی تابع نمایی ولگاریتم

هر دو حالت نمودار تابع با توجه به این واقعیت به دست می آید که تابع لگاریتم وارون تابع




لگاریتم

برای ضرب دو عدد مثبت x,a از یک جدول ، لگاریتم‌های x,a را پیدا می‌کنیم، سپس این لگاریتم‌ها را




اعلام نفرات برتر المپیاد ریاضیات (مبحث لگاریتم)

آشتی با ریاضی - اعلام نفرات برتر المپیاد ریاضیات (مبحث لگاریتم) - گروه ریاضی دلفان - آشتی با




برچسب :