مثلث و دایره ، چند ضلعي منتظموچند نكته تكميلي

 مثلث و دایره :

دایره ی محاطی مثلث :

3 نیمساز زوایای داخلی مثلث یکدیگر را در یک نقطه مانند o قطع می کنند.می دانیم فاصله ی نقطه ی o از 3 ضلع مثلث به یک فاصله است ؛ یعنی اگر عمودی ها ی OK ،OH و OE را بر اضلاع مثلث فرود آوریم ،داریم : OE=OH=OK

p71.jpg

پس اگر دایره ای به مرکز O و شعاع OH رسم کنیم ، این دایره در K و H و E بر سه ضلع مثلث مماس خواهد بود .

این دایره ، دایره ی محاطی مثلث نام دارد . مرکز دایره ی محاطی مثلث نقطه ی تلاقی نیمساز های زوایای داخلی آن است.

 

محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث:

شعاع دایره ی محاطی مثلث را با حرف r نشان می دهیم .

p71.jpg

 

p72.jpg

 

دایره ی محیطی مثلث:

سه عمود منصف اضلاع یک مثلث بر یک نقطه مانند O می گذرند. می دانیم فاصله ی O از سه رأس مثلث به یک فاصله است، یعنی OA=OB=OC

اگر به مرکز O و شعاع مثلأ OA دایره ای رسم کنیم این دایره بر دو رأس دیگر مثلث نیز عبور خواهد کرد . به این دایره ، دایره ی محیطی مثلث می گویند .

مرکز دایره ی محیطی مثلث نقطه ی تقاطع عمود منصف های اضلاع آن است.

p73.jpg

 

محاسبه ی شعاع دایره ی محیطی مثلث:

شعاع دایره ی محیطی مثلث را با حرف R نشان می دهند . در شکل زیر به دو مثلث p74.jpg توجه کنید ؛ این دو مثلث با هم متشابهند .p77.jpg

p75.jpg

تناسب اضلاع متناظر دو مثلث را می نویسیم:

p76.jpg

 

لذا در هر مثلث حاصل ضرب دو ضلع برابر است با : قطر دایره ی محیطی در ارتفاع وارد بر ضلع سوم یعنی :

p78.jpg

 

از طرفی می دانیم مساحت مثلث p79.jpg برابر است با : 

p80.jpg

 

حالا با توجه به رابطه ی (1) و (2) می توان نوشت:

p82.jpg

 

دایره و چند ضلعی های متنظم :

چند ضلعی متنظم:چند ضلعی که تمام اضلاع آن با هم و همه ی زاویه هایش نیز با هم مساوی باشند یک چند ضلعی متنظم نامیده می شود . مانند مربع که یک چهار ضلعی متنظم است.

 

رسم چند ضلعی متنظم:

برای رسم یک n ضلعی متنظم کافی است دایره ای را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و نقاط تقسیم را به هم وصل کنیم .

تقسیم دایره به n قسمت مساوی به صورت زیر انجام می شود:

1. یک زاویه ی مرکزی به اندازه ی p83.jpg رسم کنیم .

2.وتر نظیر این زاویه مرکزی را می کشیم .

3. پرگار را به اندازه ی این وتر باز کرده و پشت سر هم کمان های متوالی می زنیم تا دایره به n قسمت مساوی تقسیم شود .

 

 

 

nokat.jpg

 

1- در شکل مقابل زاویه ی p94.jpg از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد دو وتر دلخواه در داخل دایره بوجود آمده است.

p95.jpg

 

2- در شکل مقابل زاویه ی p97.jpg از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد امتداد دو وتر دلخواه در خارج دایره بوجود آمده است.

p98.jpg

 

3- در شکل مقابل زاویه ی p97.jpg از رابطه ی زیر بدست می آید :

p100.jpg

 

4-

p102.jpg

 

5- شعاع دایره ی محیطی مثلث متساوی الاضلاع دو برابر شعاع دایره ی محاطی آن مثلث است.

p105.jpg

 

6- مرکز دایره ی محیطی مثلث قائم الزاویه وسط وتر و شعاع آن نصف وتر است.

p107.jpg

 

7- مساحت مثلثی به اضلاع c , b , a از رابطه ی زیر بدست می آید:

 p108.jpg

 p109.jpg

 

8- سهم در چند ضلعی متنظم پاره خطی است که از مرکز چند ضلعی به ضلع آن عمود می شود.

مانند OA در شش ضلعی متنظم شکل مقابل.

برای بدست آوردن مساحت یک n ضلعی متنظم از رابطه ی زیر استفاده می شود.

p110.jpg

 

 

9- برای یک n ضلعی متنظم زاویه ی داخلی از رابطه ی p111.jpg و زاویه ی مرکزی از رابطه ی p83.jpg بدست می آید.

 

10- مجموع زوایای داخلی یک n ضلعی  از رابطه ی مقابل بدست می آید: 

180× (n - ۲)

 

 

مثال ها

در هر یک از شکل های زیر مقادیر مجهول را بیابید.

در تمامی شکل ها O مرکز دایره است.

تصویر 1:

p113.jpg

حل:

p114.jpg


 تصویر 2:

p115.jpg

شکل کمکی:

p116.jpg

حل:

p117.jpg


تصویر 3:

p118.jpg

شکل های کمکی :

 p119.jpg

حل:

p120.jpg


تصویر 4:

p121.jpg

حل:

p122.jpg


تصویر 5:

p123.jpg

شکل های کمکی:

  p124.jpg

حل:

   p125.jpg


تصویر 6:

p127.jpg

حل:

p128.jpg


تصویر 7:

p129.jpg

هشت ضلعی متنظم است.

حل:

p130.jpg


تصویر8:

p131.jpg

شکل های کمکی:

p132.jpg

حل:

p133.jpg


تصویر9:

p134.jpg

حل:

p135.jpg


تصویر10:

p136.jpg

شکل های کمکی:

p137.jpg

حل:

p138.jpg


تصویر 11:

p139.jpg

شکل های کمکی:

p140.jpg

حل:

p141.jpg


تصویر 12:

p143.jpg

حل:

p144.jpg


تصویر 13:

حل:

p146.jpg

 


 

 تست1 :

در شکل مقابل وتر های AB و CD بر هم عمودند . اندازه ی کمان p147.jpg کدام است؟  

 

 p148.jpg

 

الف) ˚110

ب) ˚120

ج) ˚55

د) ˚60

 

 


 

 تست2 :  

در شکل مقابل p152.jpg چند درجه است؟     

 p153.jpg

الف) ˚140

ب) ˚220

ج) ˚120

د) ˚70

 


 

 تست3 :  

در شکل مقابل y چند درجه است؟  

 

 p157.jpg

الف) ˚120

ب) ˚145

ج) ˚100

د) ˚108

 

 

 

 


 

 تست4 :  

فاصله ی خط d از مرکز دایره ای برابر 5cm است . اگر قطر دایره دو برابر این فاصله باشد ، وضعیت خط و دایره نسبت به هم کدام است؟

الف)خط و دایره متقاطع اند.

ب)خط  دایره را قطع نمی کند.

ج)خط ودایره دو نقطه مشترک دارند .

د)خط بر دایره مماس است.

 


 

تست5 :  

مثلث قائم الزاویه ای به اضلاع 6 و 8 و 10 مفروض است. دایره ای رسم کرده ایم که از رأ س های مثلث          می گذرد. شعاع دایره چقدر است؟

الف) 10

 p166.jpg     ب)2

ج) p165.jpg

د) 5

 


 

تست6 :  

اندازه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 6cm چقدر است؟

    الف)  p170.jpg 

ب) p169.jpg 

ج) p168.jpg

د) p167.jpg

 


 

 تست7 :  

در شکل مقابل 6 ضلعی منتظم است . اگر محیط دایره p۴ باشد، طول هر ضلع 6 ضلعی منتظم برابر است با: 

 p172.jpg

الف) 2 

ب) 3

ج) p173.jpg

د) 4

 

 


 

 تست8 :  

در شکل مقابل AB < DE پنج ضلعی متنظم است.

اگر M قرینه ی نقطه ی A نسبت به خط BE باشد، اندازه ی زاویه ی p175.jpg چقدر است؟

 p176.jpg

الف) ˚32

ب) ˚30

ج) ˚35

د) ˚36

 


 

تست9 :  

ده نقطه روی محیط دایره ای قرار دارند. حداکثر تعداد وتر هایی که می توان با وصل کردن این نقطه ها به یکدیگر رسم نمود چند تا است اگر هیچ دو وتری متقاطع نباشند ؟

الف) 35

ب) 27

ج) 17

د) 15

 


 

تست10 :  

اگر AB یکی از ضلع های یک پنچ ضلعی منتظم و AD نیز یکی از ضلع های یک نه ضلعی منتظم در دایره C باشند ، اندازه زاویه ی A برابر است با: 

 p180.jpg

الف) ˚130

ب) ˚124

ج) ˚135

د) ˚120

 


مطالب مشابه :


شعاع دایره محیطی و محاطی

محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث: شعاع دایره ی محاطی مثلث را با حرف r نشان می دهیم .




دایره

محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی شعاع دایره ی محیطی مثلث را با حرف r نشان می دهند .




روش محاسبه سطح مثلث و اشکال هندسی

برای محاسبه مساحت یک مثلث باید طول ارتفاع مثلث و دایره c به مرکز O و شعاع oB را قاعده ی مخروط




تشابه دوشکل هندسی

محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث: شعاع دایره ی محیطی مثلث را با حرف r نشان می دهند .




مساحت دایره

حالا می توانیم مساحت شکل را با فرمول مستطیل محاسبه کنیم. 3- شعاع دایره ای 7 سانتی متر است




مثلث و دایره ، چند ضلعي منتظموچند نكته تكميلي

محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث: شعاع دایره ی محیطی مثلث را با حرف r نشان می دهند .




برچسب :