زاویه و دایره

.:: زاویه و دایره ::.

 

دایره: (circle)

p39.jpg

 

مجموعه نقاطی از صفحه که فاصله ی آن از یک نقطه به نام مرکز برابر باشند ، دایره نامیده می شود.

دایره ی c به مرکز o و شعاع R را با نماد p40.jpg نشان می دهیم .

p41.jpg

 

وتر دایره :(circle  chord) پاره خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می کند . هر دایره بیشمار وتر دارد . مانند وتر های AB و CD در دایره ی C

p42.jpg

 

قطر دایره:(circle axis) بزرگترین وتر در هر دایره را قطر می نامند . قطر وتر ی از دایره است که از مرکز می گذرد مانند قطر MN در دایره ی C.

p43.jpg

 

کمان دایره :(circlearc) قسمتی از محیط دایره را می گویند که به دو نقطه روی محیط دایره محدود شده باشد. اگر دو نقطه ی A و B را روی دایره C در نظر بگیریم دو کمان پدید می آید ، کمان کوچکتر را به صورت p44.jpg و کمان بزرگتر را به صورت p45.jpg می خوانیم .

p46.jpg

 

í نقطه و دایره : نقطه و دایره نسبت به هم 3 وضعیت دارند :1 نقطه داخل دایره است. 2 نقطه روی دایره است. 3 نقطه خارج دایره است .

p47.jpg

 

íوضع یک خط و یک دایره نسبت به هم:

خط و دایره نسبت به هم سه حالت دارند:

1. خط خارج دایره است که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگتر است. یعنی  d

p48.jpg

 

2.خط بر دایره مماس است.که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره با شعاع مساوی است . یعنی d = r

p49.jpg

 

3.خط دایره را در دو نقطه قطع می کند که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع کو چکتر است.

یعنی: d < r

p50.jpg


زاویه و دایره:

زاویه ی مرکزی:زاویه ای که رأس آن مرکز دایره باشد زاویه ی مرکزی نامیده می شود.

در شکل مقابل زاویه ی AOB یک زاویه مرکزی است و کمان AB کمان مقابل آن می باشد.

p54.jpg

نکته: اندازه ی زاویه ی مرکزی با کمان مقابلش مساوی است.

زاویه ی محاطی: زاویه ی محاطی زاویه ای است که رأس آن روی دایره و اضلاع آن دو وتر از همان دایره باشند .

در شکل مقابل زاویه ی p60.jpg یک زاویه ی محاطی است و کمان BC ، کمان مقابل آن می باشد.

p61.jpg

 

نکته :اندازه ی زاویه ی محاطی نصف کمان مقابل آن است.

زاویه ی ظلّی : هر زاویه ای که رأسش روی دایره و یک ضلع آن وتری از دایره و ضلع دیگرش بر دایره مماس باشد ، زاویه ی ظّلی نامیده می شود.

در شکل مقابل p67.jpg یک زاویه ی ظّلی و کمان AB کمان مقابل به زاویه ی ظّلی A می باشد.

p68.jpg

نکته : اندازه ی زاویه ی ظّلی نصف کمان مقابل آن است.

مثلث و دایره :

دایره ی محاطی مثلث :

3 نیمساز زوایای داخلی مثلث یکدیگر را در یک نقطه مانند o قطع می کنند.می دانیم فاصله ی نقطه ی o از 3 ضلع مثلث به یک فاصله است (با توجه به مبحث تساوی مثلث ها)؛ یعنی اگر عمودی ها ی OK ،OH و OE را بر اضلاع مثلث فرود آوریم ،داریم : OE=OH=OK

p71.jpg

پس اگر دایره ای به مرکز O و شعاع OH رسم کنیم ، این دایره در K و H و E بر سه ضلع مثلث مماس خواهد بود .

این دایره ، دایره ی محاطی مثلث نام دارد . مرکز دایره ی محاطی مثلث نقطه ی تلاقی نیمساز های زوایای داخلی آن است.

 

محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث:

شعاع دایره ی محاطی مثلث را با حرف r نشان می دهیم .

p71.jpg

 

p72.jpg

 

دایره ی محیطی مثلث:

سه عمود منصف اضلاع یک مثلث بر یک نقطه مانند O می گذرند. می دانیم فاصله ی O از سه رأس مثلث به یک فاصله است، یعنی OA=OB=OC . (با توجه به مبحث تساوی مثلث ها)

اگر به مرکز O و شعاع مثلأ OA دایره ای رسم کنیم این دایره بر دو رأس دیگر مثلث نیز عبور خواهد کرد . به این دایره ، دایره ی محیطی مثلث می گویند .

مرکز دایره ی محیطی مثلث نقطه ی تقاطع عمود منصف های اضلاع آن است.

p73.jpg

 

محاسبه ی شعاع دایره ی محیطی مثلث:

شعاع دایره ی محیطی مثلث را با حرف R نشان می دهند . در شکل زیر به دو مثلث p74.jpg توجه کنید ؛ این دو مثلث با هم متشابهند .p77.jpg

p75.jpg

تناسب اضلاع متناظر دو مثلث را می نویسیم:

p76.jpg

 

لذا در هر مثلث حاصل ضرب دو ضلع برابر است با : قطر دایره ی محیطی در ارتفاع وارد بر ضلع سوم یعنی :

p78.jpg

 

از طرفی می دانیم مساحت مثلث p79.jpg برابر است با : 

p80.jpg

 

حالا با توجه به رابطه ی (1) و (2) می توان نوشت:

p82.jpg

 

دایره و چند ضلعی های منتظم :

چند ضلعی منتظم: چند ضلعی که تمام اضلاع آن با هم و همه ی زاویه هایش نیز با هم مساوی باشند یک چند ضلعی منتظم نامیده می شود . مانند مربع که یک چهار ضلعی منتظم است.

 

رسم چند ضلعی منتظم:

برای رسم یک n ضلعی منتظم کافی است دایره ای را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و نقاط تقسیم را به هم وصل کنیم .

تقسیم دایره به n قسمت مساوی به صورت زیر انجام می شود:

1. یک زاویه ی مرکزی به اندازه ی p83.jpg رسم کنیم .

2.وتر نظیر این زاویه مرکزی را می کشیم .

3. پرگار را به اندازه ی این وتر باز کرده و پشت سر هم کمان های متوالی می زنیم تا دایره به n قسمت مساوی تقسیم شود .

نکته:

1- در شکل مقابل زاویه ی p94.jpg از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد دو وتر دلخواه در داخل دایره بوجود آمده است.

p95.jpg

 

2- در شکل مقابل زاویه ی p97.jpg از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد امتداد دو وتر دلخواه در خارج دایره بوجود آمده است.

p98.jpg

 

3- در شکل مقابل زاویه ی p97.jpg از رابطه ی زیر بدست می آید :

p100.jpg

 

4-

p102.jpg

 

5- شعاع دایره ی محیطی مثلث متساوی الاضلاع دو برابر شعاع دایره ی محاطی آن مثلث است.

p105.jpg

 

6- مرکز دایره ی محیطی مثلث قائم الزاویه وسط وتر و شعاع آن نصف وتر است.

p107.jpg

 

7- مساحت مثلثی به اضلاع c , b , a از رابطه ی زیر بدست می آید:

 p108.jpg

 p109.jpg

 

8- سهم در چند ضلعی منتظم پاره خطی است که از مرکز چند ضلعی به ضلع آن عمود می شود.

مانند OA در شش ضلعی منتظم شکل مقابل.

برای بدست آوردن مساحت یک n ضلعی منتظم از رابطه ی زیر استفاده می شود.

p110.jpg

 

 

9- برای یک n ضلعی منتظم زاویه ی داخلی از رابطه ی p111.jpg و زاویه ی مرکزی از رابطه ی p83.jpg بدست می آید.

 

10- مجموع زوایای داخلی یک n ضلعی  از رابطه ی مقابل بدست می آید:  180× (n - ۲)

 

 

مثال ها

در هر یک از شکل های زیر مقادیر مجهول را بیابید.

در تمامی شکل ها O مرکز دایره است.

تصویر 1:

p113.jpg

حل:

p114.jpg

 تصویر 2:

p115.jpg

شکل کمکی:

p116.jpg

حل:

p117.jpg

تصویر 3:

p118.jpg

شکل های کمکی :

 p119.jpg

حل:

p120.jpg

تصویر 4:

p121.jpg

حل:

p122.jpg

تصویر 5:

p123.jpg

شکل های کمکی:

  p124.jpg

حل:

   p125.jpg

تصویر 6:

p127.jpg

حل:

p128.jpg

تصویر 7:

p129.jpg

هشت ضلعی منتظم است.

حل:

p130.jpg

تصویر8:

p131.jpg

شکل های کمکی:

p132.jpg

حل:

p133.jpg

تصویر9:

p134.jpg

حل:

p135.jpg

تصویر10:

p136.jpg

شکل های کمکی:

p137.jpg

حل:

p138.jpg

تصویر 11:

p139.jpg

شکل های کمکی:

p140.jpg

حل:

p141.jpg

تصویر 12:

p143.jpg

حل:

p144.jpg

تصویر 13:

p145.jpg

حل:

p146.jpg


تست:

p148.jpg1.در شکل مقابل وتر های AB و CD بر هم عمودند . اندازه ی کمان p147.jpg کدام است؟  

 

 

 

د) ˚110

ج) ˚120

ب) ˚55

الف) ˚60

 

 


  

2.در شکل مقابل p152.jpg چند درجه است؟      p153.jpg

 

د) ˚140

ج) ˚220

ب) ˚120

الف) ˚70

 


 

p157.jpg

3.در شکل مقابل y چند درجه است؟  

ب) ˚120

الف) ˚145

د) ˚100

ج) ˚108

 








 

 


4.فاصله ی خط d از مرکز دایره ای برابر 5cm است . اگر قطر دایره دو برابر این فاصله باشد ، وضعیت خط و دایره نسبت به هم کدام است؟

ب)خط و دایره متقاطع اند.

الف)خط  دایره را قطع نمی کند.

د)خط ودایره دو نقطه مشترک دارند .

ج:خط بر دایره مماس است.

 


5.مثلث قائم الزاویه ای به اضلاع 6 و 8 و 10 مفروض است. دایره ای رسم کرده ایم که از رأ س های مثلث          می گذرد. شعاع دایره چقدر است؟

د) 10

ج) p166.jpg

ب) p165.jpg

الف) 5

 


 

p172.jpg

6.در شکل مقابل 6 ضلعی منتظم است . اگر محیط دایره p۴ باشد، طول هر ضلع 6 ضلعی منتظم برابر است با: 

 

مطالب مشابه :

در این مقاله روشی برای محاسبه ی سینوس زوایای دلخواه ارائه می شود كه به كمك آن

در این مقاله روشی برای محاسبه ی سینوس زوایای های مثلثاتی را اندازه ی خودش تا




توابع مثلثاتی معکوس

منشا توابع مثلثاتی معکوس، مسائلی است که در آن ها باید با استفاده از اندازه ی زوایای متمم




مثلث

ریاضیات دوره ی مثلثی است که دارای سه ضلع با طولهای مساوی است و زوایای نسبت های مثلثاتی




مثلث

مثلثی است که دارای سه ضلع با طولهای مساوی است و زوایای مثلثاتی مانند sin و اندازه زاویه




جدول مثلثاتی

این وب تقدیم به روح آســمانی پدرم و همه ی پدرانی که یادشان پرچم صلحی ست به جدول مثلثاتی.




زاویه و دایره

کاربرد تکنیک های حافظه برای حفظ سریع فرمول های ریاضی و مثلثاتی اندازه ی زوایای داخلی




روش محاسبه سطح مثلث و اشکال هندسی

مثلثی است که دارای سه ضلع با طولهای مساوی است و زوایای نسبت های مثلثاتی قاعده ی منشور




زاویه و دایره

نرم افزار در زمینه رسم معادلات خطی ، توابع مثلثاتی اندازه ی 3 نیمساز زوایای




مثلث قائم الزاویه و روابط مثلثاتی

به حسب درجه، گراد رادیان اندازه مثلثاتی که برای زوایای مختلف دوره ی راهنمایی




برچسب :