آموزش انتگرالها

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت c053036f54379b8376f9a6c39dd6a2bf.pngنشان می دهند علامت 58743ac638e7851444a5e34303bfd6e5.png ،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

img/daneshnameh_up/9/96/graph_integral1-1.jpg
انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی
پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود .

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند.

محاسبه انتگرال


اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می گیریم .
2.پاد مشتق f را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: fa6d064b1f15fec56efa94ea25ef4550.png
3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم:

418568c9ab7f8b84c715d3f226de05b4.png

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر 151880598d4e37e691f4f9c33a82f864.png خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم .
معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتند از :


روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید .

تقریب انتگرالهای معین

img/daneshnameh_up/0/02/integ.gif
محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار.
هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری
از مقدار انتگرال بدست میآید.


انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است.
از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند .

تعریف های انتگرال


از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکی(lebesgue) است. انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد.
از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند:

انتگرال نامعین

اگر 26320f9d1a6d732658a647660ce6c64f.png پاد مشتق 48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.pngباشد ، آنگاه d64a8e0fb707b72e42a3325ba3cd7e3a.png به ازای هر مقدار ثابت f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png یک پاد مشتق 48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.png است.زیرا اگر 1eb395881a0b6ae5f12f348ee766fe4c.png آنگاه:

2323d46ac59e9d5048561767d7b41f2f.png

نکته

اگر 4a58e1a2e7374ded8084db6218116d8b.pngجوابی برای bfe445e85f3b398a2d60202c1f8fee58.png باشد ، فرمول 69b7c77e7665e4dc7c29a3b112042245.png همه جوابها را به دست می‌دهد.

انتگرال نامعین

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون 48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.png را انتگرال نامعین 8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png نسبت به 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.pngمی‌نامند و با a988b1aad09e1b96a9705301e27d67be.png نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول d64a8e0fb707b72e42a3325ba3cd7e3a.pngهمه پادمشتق‌های 8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم : d7bb0b86d923a0b55f9e753e096eaeb6.png
تابع 8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png را انتگرال ده انتگرال وf93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین 79e09efba685c667efccfa7a9bae331c.png نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png است.

خواص انتگرال

  1. انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png برابر است با a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png به علاوه یک ثابت دلخواه.
  2. یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
  3. انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

فرمول های انتگرال گیری

525955f12e5b7a33f57874666ed70469.pnge309747d67f1078a5efc1224934abbf7.png367433b5f726f65f09d43adb5e7d2606.png , d2a1d9caa0152284e95baac9d2806559.pngb8628263f2553ce3de4a6821f1df60cc.png , abdcc71c24fbd6ef90d0ff0e4535e6f5.png
7e3ade3aff64d6e4b75cc45bed27dd8d.png , 9dc2e0b1c8673784114c46a944888b5b.png039138de2ac86fee3459578b54ac7986.png , 461d8576b11451dd8b95655402a6d809.pngb21298968d31981c412367f23470d904.png
ede7d77e9316efc1dc7b8026358a0ecb.png
1f672cae9bfefa758e53c34ee417704b.pngac991b22c2d8a19e1defebdeaf39781a.png


در این دستور‌ها a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر e1cf550b859a1de8266066c0bc74f416.png آنگاه 17ee98ad7ea5bad2177a3ba1abd953ea.png


انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند eecdd13ed469625a62c837544d730cb7.png معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی ad5fca24893edae00282ab1b3b841e1a.png را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون c5babf68baade29b50e4ded2a8a177d7.png از دامنه 87a62474033524575fe5fc29dd221a00.png را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه fa85d9c195a218dce6fc0a5e48d7908e.png را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن e4d117a14a265dcc491e4d7a70eb3625.png و e94c79ce3d009f8f05076090b4b1402e.png در معادله ad5fca24893edae00282ab1b3b841e1a.png و حل آن نسبت به f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png جوابی را یافت که از نقطه 1fe41a33961896ee5aa532e4aebd4103.png بگذرد.به این ترتیب داریم 79e7b95dcc0212995031702b19424b4d.png یا 64d3b050d0da2cdbab151ccc9456890b.png.
خم cbfad94e3ef13fb75096addf48934ee0.png خمی است که از 1fe41a33961896ee5aa532e4aebd4103.png می‌گذرد.

انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png تابع پیوسته و مشتق پذیر 32e2edba7789d9917cc8b1aff6784c53.png را قرار می دهیم، یعنی :
789bc0525bd335db8f663c8979a55e56.png


بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس ، به جای 331004b146a073801166787069f73b5e.png نسبت به 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png قرار می‌دهیم . یعنی: 4d519d25200e47f93965cfdea25ef643.png
از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:

4bc20eaf572296578640fd779604cd34.png


 


انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

دستور 51c3f909a5d4e4ab01b6ff2b925bd8ab.png موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن 010faaa935eb5ed85b8fe482e8053241.png توابعی مشتق‌پذیر از 9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png فرض می‌کنند.

انتگرال گیری یکی از دو عامل اساسی در حسابان میباشد و از آنجائیکه برخلاف مشتق گیری، غیر-جزیی می باشد، جداول انتگرالهای شناخته شده اغلب مفید می باشند. این صفحه عمل معکوس مشتق گیری های معمول را فهرست نموده است؛ یک فهرست کاملتر را میتوانید در فهرست انتگرالها)) بیابید.

ما از C برای یک مقدار ثابت دلخواه در انتگرال گیری استفاده مینماییم، که در صورتی قابل تعیین خواهد بود که اطلاعی از مقدار انتگرال در نقطه‌ای داشته باشیم. لذا هر تابع تعداد نامحدودی انتگرال دارد.

:d643c5f368d836508f1aef6e4b14b268.png
:4006b6822892f74d4b0cc55a504269f2.png


:d81231dbab1c00f345c96859eec20bc6.png


:18aadca2c9a1595f4ecae4ede36059da.png
:0afbc97866f5c54c4e45aea16f4b8efc.png


:020379a3237e57d1c2afc43d9091c01f.png
:a1730b624616cebcecafc4ab33c6b3ac.png
:3dd9bafded5f2f48ebb89e518e9910a6.png


:d023464d5202813badf8963f12b70a2a.png
:6af3b813078289b298ad27a5ef15115b.png
:cfc0cbf0efa998a8ab45fff9507c6954.png
:e79d4596bd599bffd92310b4d3e0f073.png
:f97f4b0fdec8a1f3b212e620c63ddc20.png
:4c4123ee80bf65b0043da6ac58ea3256.png


:b8d6bbd71c671f4c0a8ec82d15520d5d.png
:84d0dc8072d01b0cf884474ada8abddd.png
:5508964b85d09ead1bbc3d9ad63aaf0d.png
:6f47eb3d2a97022b4eb577d2ffbd649d.png


:99fb15ff8df17949eea816569660ec07.png
:27c736360b6ef9cde92a8cbd090c41ce.png
:c2e98d311e09d2062cfb6ab199b4847a.png
:804ed96da56e1a4f06a3306e21c591f8.png
:8dd40feb314cd788ed367b3d4bc67faa.png
:9529083e9ebd8ed56a21b3b995e6d10b.png

این معادلات صرفا در شکل دیگری در جدول مشتقات بیان شده‌اند.


انتگرالهای معین


توابعی وجود دارند که عمل معکوس مشتق گیری را برای آن توابع نمی توان در شکل بسته نمایش داد. بهرحال، مقادیر انتگرالهای محدود این گونه توابع را میتوان در فاصله های متعارف محاسبه نمود. ذیلا، تعداد کمی از انتگرالهای محدود ارائه شده‌اند.

:f045a1bf33b934cbd09c2cabf2b47193.png
:278311c57feca8dac3be844bbf58c0a6.png
:12c1b656a239d2652bce7d35df595144.png
:876df6d772d01bcea218fcfc88fd95b6.png
:72bca0d066ad1bd42511b30c090b6313.png



مطالب مشابه :


آموزش کامل انتگرال

دانلود کتاب و جزوه ریاضی - آموزش کامل انتگرال - جزوات ریاضی - دانلود کتاب و جزوه ریاضی




آموزش کامل انتگرال

ریاضی فیزیک - آموزش کامل انتگرال - مطالب اموزشی خواص انتگرال . انتگرال مشتق یک تابع مشتق




آموزش انتگرال

مرکز آموزش مهندسی ایران - آموزش انتگرال - آموزش و مشاوره تخصصي در زمينه طراحي و اجراي سيستم




آموزش انتگرال

انتگرال يک تابع مساحت زير نمودار آن تابع است. انتگرال گيري. انتگرال گيري به معني محاسبه سطح




آموزش انتگرال به همراه فرمولهای انتگرال

انتگرال يک تابع مساحت زير نمودار آن تابع است. انتگرال گيري. انتگرال گيري به معني محاسبه سطح




آموزش انتگرالها

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم




دانلود جزوه اموزش مقدماتی انتگرال

دانلود جزوه اموزش مقدماتی انتگرال. اشنایی با مفهوم انتگرال وروشهای انتگرال گیری




انتگرال‌گیری به روش جز به جز

روش انتگرال‌گیری جز به جز (Integration by Parts) روشی است که به وسیله‌ی آن می‌توان بسیاری از انتگرال




آموزش تصویری و ساده انتگرال ویژه دبیرستانیها

خانه ریاضی بهبهان - آموزش تصویری و ساده انتگرال ویژه دبیرستانیها - ریاضیات عالیترین دستاورد




برچسب :