تبدیلات لورنتس و اثبات کامل

همانطور که مشاهده کردیم ودیدیم تبدیلات گالیله نمی توانند پدیدهای را که سرعت های انها نزدیک سرعت نور است را توصیف کنند وباید معادلتی جایگزین ان ها شوند که با تجربه سازگار است این معادلات را معادلات لورنتس نامیدند علت این نام گذاری همانطور که در بحث قبل دیدم لورنتس اولین کسی بودکه برای حفظ چارچوب اتر فرض اینکه اجسام در راستای حرکتشان کوتاه می شوند را ارائه کرد هرچند اینشتین این تبدیلات را با مفهومی درست تر بدست اورد ولی این معادلات را معادلات لورنتس نامیدند.ما هرچند در این وبلاگ قبلا این معادلات را نوشتیم ولی در این اینجا می خواهیم این معادلات را با استفاده از فرض های ساده کننده که هیچ لطمه ای به کلیت مسئله نمی زند و یک نتایجی صوری بدست می اوریم که بعدا انها را محک می زنیم.

رویدادی را رادر نظر بگیریم که در چارچوب S مختصات فضا- زمان ان را به وسیله پارامتر های زیر معلوم می کنیم

این رویداد را در چارچوبی که نسبت به S با سرعتی یکنواخت V حرکت می کند یعنی چارچوب 'S با مختصات پریم دار از چهار چوب S تفکیک می کنیم یعنی مختصات فضا –زمانی این رویداد درچارچوب'S به صورت زیر است

اکنون ما به دنبال روابطی هستیم که این دو مختصات را بهم ربط دهد که به صورت نماد ریا ضی داریم

ما در اینجا از دو اصل یعنی اصل نسبیت و اصل همگن بودن فضا –زمان برای حل مسئله مدد می جوییم همانطور که می دانیم اصل نسبیت خود شامل دو قسم است که به قرار زیر است:

1.هیچ دستگاه لخت مرجع خاصی (مانند اتر شکست خورده) وجود ندارد وقوانین فیزیک باید در تمام چارچوب ها معتبر باشد(مثل پایستگی تکانه خطی در برخورد)

2.سرعت نور در برای تمام چار چوب های لخت یکی باشد دومین اصل که همگنی فضا –زمان می باشد یعنی هیچ نقطه خاصی چه در فضا و چه در زمان وجود نداشته باشد که نسبت به نقاط دیگر متفاوت باشد یعنی تمام فضا _زمان هم ارزند.

برای ساده کردن مسئله فرض می کنیم که که دو چارچوب S و'S فقط در امتداد محور X هاست که دارای حرکت نسبی هستند به شکل زیر نگاه کنید

این فرض هیچ محدودیتی در نتایج ندارد چرا که فضا همسانگرد است یعنی خواص ان تحت چرخش یکسان است همچنین در لحظه ای که دو مبداء O و'O بر هم منطبق اند ساعت ها را به ترتیب روی صفر تنظیم می کنیم یعنی

بعلاوه فرض همگنی فضا ایجاب می کند که روابط بین مختصات فضا –زمانی تنها به صورت خطی باشد یعنی داریم

ضرایب بالا با شاخص های نشان داده شده اند که این شاخص ها شاخص های ثابتی هستند وباید معین گردند اکنون می خواهیم این شانزده ضریب را پیدا کنیم انتظار داریم که این شانزده ضریب به سرعت نسبی چارچوب ها یعنی V بستگی داشته باشد یعنی اینکه اگر سرعت نسبی صفر باشد دو چارچوب همواره منطبق اند ودر این حالت خاص باید داشته باشیم

وبقیه ی ضرایب باید صفر شوند ولی ما باید ضرایب را طوری بدست اوریم که برای تمام سرعت ها صادق باشد

اولا می دانیم که دو چارچوب تنها در راستای X ها نسبت به هم حرکت می کنند و درنتیجه می دانیم محور X همواره بر محور' X منطبق است واین تنها در صورتی ممکن است که برای 0= Y و0=Z که این دو معادله معرف محور X است باید برای محور 'X داشته باشیم 0='Y و0='Z باشد درنتیجه با توجه به معادلات رابطه دو و سه به صرت زیر نوشته شود

یعنی ضرایب زیر برابر صفر می شوند تا اینکه شرط بالا برای همیشه بر قرار باشد به زبان ریاضی یعنی

همچنین با توجه به شکل یک باید صفحه یY X (که با 0=Z نیز می توان نشان داد) به صفحه ی'Y 'X (0='Z) تبدیل گردد وطبق معادله دوم از رابطه پنجم باید ضریب Y مساوی صفر شود وبا همین استدلال برای تبدیل صفحه ZX به 'Z'X باید ضریب Z صفر شود یعنی

در نتیجه معادلات پنج به صورت زیر تبدیل می شوند

حال وقت انست که برای بدست اوردن دو ضریب رابطه شش از اصول نسبیت که گفته شد استفاده کنیم میله ای را در چارچوب S موازی با محور Y درنظر بگیرید که در چارچوب S دارای طولی واحد است در نتیجه با توجه به رابطه شش از نظر چارچوب 'S طول این میله برابر با

اکنون فرض کنیم همین میله در چارچوب 'S واقع شده که موازی محور ' Y است ودر این چهارچوب میله نیز ساکن باشد در این صورت باید ناظر چارچوب 'S نیز طول واحد را برای میله اندازه بگیرد در غیر این صورت عدم تقارنی بین چارچوب ها وجود دارد با توجه به رابطه شش ناظر بدون پریم طول میله را برابر با زیر اندازه می گیرد در این حالت میله درون چارچوب پریم دار ساکن است و ناظر بدون پریم ان را طبق رابطه شش باید بدست اورد یعنی

حال به دلیل اینکه این دو اندازه گیری دوجانبه است اصل موضوع نسبیت ایجاب می کند این اندازه گیری ها یکسان باشند چون در غیر این صورت دوچارچوب از نظر فیزیکی هم ارز نیستن واین یعنی اینکه قوانیین فیزیک برای تمام چارچوب های لخت معتبر نیت وخلاف فرض نسبیتی است پس در این صورت باید داشته باشیم

وبا همین استدلال داریم

رابطه شش در اخر به صورت زیر در می اید

معادلات تبدیل مربوط به 't و 'x یعنی

ابتدا به معادله 't نگاه کنیم با توجه به شکل یک واینکه فضا همسانگرد است باید تمام ساعت های که در صفحه ZY قرار دارند ودلیل انکه فضا همسانگرد بوده پس باید ساعت های که در قسمت منفی ومثبت دو محور Y یا Z قرار دارند باید از نظر ناظر 'S با هم توافق داشته باشند در غیر این صورت فضا همسانگرد نیست پس باید در معادله' t ضرایب Y وZ صفر شوند یعنی

اما در مورد معادله ی 'X می دانیم نقاطی که برای انها0='x است با سرعت V درجهیت مثبت X ها حرکت می کنند بطوری که گزاره 0='x با گزاره tV=x معادلند.

در نتیجه انتظار داریم که

درست باشد درنتیجه چهار معادله ابتدایی 1 تا 4 به معادلات زیر تبدیل می گردند

حال از شانزده ضریب فقط سه تای ان باقی است که باید بدست اوریم یعنی باید ضرایب زیر را بیابیم

برای این کار از نظریه نسبیت که می گوید سرعت نور در هر چارچوب لخت ناوردا است استفاده می کنیم .فرض شود که در لحظه 0=t که یک موج الکترومغناطیسی کروی مبداء S را که در این لحظه بر 'S منطبق است را ترک می کند چون سرعت نور با چهارچوب تغییر نمی کند بنابرین پیشروی این موج در هردو دستگاه بدون پریم وپریم دار به صورت کروی به طوری که شعاع کره برحسب زمان با اهنگ سرعت نوریعنی C افزایش می یابد که بیان ریاضی ان به صورت زیر است