پردازش سیگنال

سیگنال چیست؟
به طور ساده هر کیمیت متغیر در زمان یا مکان که قابل اندازه گیری باشد را سیگنال می گوییم. به عنوان مثال سرعت کمیتی است که در واحد زمان متغیر بوده و مقدار آن قابل اندازه گیری است. چراکه در بازه های زمانی مشخص می توانید مقدار سرعت را اندازه گیری کرده و ثبت کنید. مجموعه اعدادی که از ثبت سرعت در بازه های زمانی مختلف به وجود می آیند، باهمدیگر تشکیل یک سیگنال می دهند.

کمیت هایی همچون شتاب ، دما ، رطوبت و... نیز در واحد زمان متغیر بوده و همچنین قابل

اندازه گیری هستند. بنابراین با نمونه گیری از این کمیت ها در واحد های زمانی مختلف می توان تشکیل یک سیگنال داد. پردازش سیگنال نیز علمی است که به آنالیز سیگنال ها می پردازد. به علت کاربرد گسترده و همچنین قابل لمس بودن سیگنال های صوتی برای خوانندگان ، در ادامه مقالاتی که برای پردازش سیگنال قرار داده ایم ، تمرکز خود را بر روی سیگنال های صوتی و گفتار متمرکز کرده ایم. شکل زیر سیگنال صوتی را نشان می دهد که هنگام فشار دادن کلید 1 بر روی تلفن تولید می شود:


سیگنال پیوسته	سیگنال گسسته

شکل سمت چپ سیگنال را به شکل گسسته و شکل سمت راست سیگنال را به صورت پیوسته نشان می دهند. محور افقی زمان و محور عمودی نیز مقدار شدت سیگنال را نمایش می دهند.

همگام با ورود این سیگنال دیجیتالی به کارت صوتی خروجی آنالوگ (سیگنال پیوسته) در آن تولید می شود که این خروجی نیز وارد سیستم پخش صدا شده و موج تولید شده توسط بلندگو پس از پخش در فضا توسط گوش ما حس می گردد. این کل فرآیندی است که یک سیگنال صوتی دیجیتالی طی می کند تا توسط گوش ما شنیده شود. عکس این فرآیند نیز امکان پذیر است، بدین صورت که همگام با صحبت کردن ما در یک میکروفون، سیگنال آنالوگ تولید شده توسط آن وارد کارت صوتی شده و توسط کارت صوتی نمونه برداری می گردد وهمین نمونه برداری است که موجب تولید یک سیگنال زمانی در سمت کامپیوتر می گردد.

حال فرض کنید می خواهیم نویزی را که در یک فایل صوتی وجود دارد، یا نویزی که هنگام صحبت کردن ما در میکروفون ممکن است تحت تاثیر محیط اطراف به وجود آید را حذف کنیم. برای این منظور نیاز داریم که سیگنال دیجیتالی موجود بر روی سیستم کامپیوتری را پردازش کرده و پس از شناسایی نویز ها با استفاده از روشی به حذف آن ها پبردازیم. یا فرض کنید قصد داریم نرم افزاری را طراحی کنیم که این نرم افزار کلمات بیان شده در میکروفون را تایپ کند. پردازش گفتار علمی است که با بهره گرفتن از روش های پردازش سیگنال به انجام این عمل می پردازد. در ادامه این بخش سعی کرده ایم مفاهیم کلی پردازش سیگنال را مورد بررسی قرار دهیم. توجه داشته باشید که تمام روش های پردازش سیگنال های دیجیتالی برای آنالیز گفتار نیز به کار می روند.

نمونه برداری و چندی کردن سیگنال
فرض کنید میکروفورنی را به کارت صوتی وصل کرده اید و در حال ضبط صدا هستید. خروجی میکروفون یک خروجی آنالوگ می باشد و بنابراین نمی تواند به طور مستقیم وارد سیستم کامپیوتری گردد. چرا که همه سیستم های دیجیتالی اعم از یک کامپیوتر تنها با ورودی های دیجیتال می تواند کار کنند. بنابراین سیگنال آنالوگ تولید شده در خروجی میکروفون قبل از ورود به سیستم کامپیوتری باید به سیگنال دیجیتال تبدیل گردد. دیجیتال کردن سیگنال بر روی سیستم های کامپیوتری امروزی توسط کارت های صوتی انجام می پذیرد. یک سیگنال آنالوگ از لحظه ورود تا دیجیتال شدن مراحل زیر را به ترتیب طی می کند:

    • آماده کردن سیگنال ورودی
    • فیلتر کردن سیگنال ورودی
    • نمونه برداری
• چندی کردن
شماتیک زیر نیز فرآیند تبدیل سیگنال آنالوگ به دیجیتال را نشان می دهد:

آماده کردن سیگنال ورودی :
فرض کنید خروجی سنسوری که موجب تولید سیگنال می شود ، ولتاژ باشد. به عنوان مثال زمانی که در میکروفون صحبت می کنید، متناظر با صدای تولید شده توسط شما، خروجی میکرفون نیز در یک بازه مشخص به شکل ولتاژ تغییر می کند. یا به عنوان مثال خروجی سنسوری که برای ضبط نوار قلبی بکار می رود، در بازه های بسیار کوچک ولتاژ ( میلی ولت ) در حال تغییر است.

در مراحل بعدی عمل دیجیتال کردن زمانی که از مبدل آنالوگ به دیجیتال استفاده می کنیم، عملا نیاز به ولتاژهایی در بازه ( 5..0) ، ( 5-..5 ) یا ... ولت نیاز داریم. اما همانطور که دیدیم خروجی برخی از سنسورها ( همانند سنسور نوار قلبی ) در حد میلی ولت است. بنابراین نیاز به روشی داریم که بتوانیم خروجی سنسورها را تقویت کرده و آن ها را برای ورود به مبدل های آنالوگ به دیجیتال آماده کنیم.

این مرحله از عمل دیجیتال کردن ورودی را آماده سازی سیگنال ورودی می گوییم که در آن از تقویت کننده ها ( آمپلی فایر ) برای افزایش/ کاهش بهره ولتاژ استفاده می کنیم. لازم به ذکر است که امروزه سیستم تقویت کننده سیگنال به شکل توکار بر روی کارت های صوتی وجود دارد و در کارهای معمول خود نیاز به نصب تقویت کننده خارجی به کارت صوتی نداریم.در سیستم عامل ویندوز ضریب بهره آمپلی فایر کارت صوتی توسط Volume Controller خود سیستم عامل تعیین می شود.

فیلتر کردن سیگنال
خطوط تلفن دیجیتال قابلیت حمل سیگنال هایی در بازه 0 تا 3400 هرتز را دارند. از اینرو سیگنال هایی که فرکانسی خارج از این محدوده دارند، باید قبل از دیجیتال شدن فیلتر شوند. این عمل نیز با طراحی فیلترهایی امکان پذیر است. در واقع پس از آنکه سیگنال ورودی آماده شد ( تقویت گردید ) وارد سیتم فیلترینگ می گردد تا سیگنال های خارج از محدوده فرکانسی آن کاربرد ، از سیستم حذف گردند.

طراحی فیلترها
از اهمیت ویژه ای برخوردار است چراکه اگر سیگنال به شکل صحیح فیلتر نشود، دچار اختلال هایی خواهد شد. با توجه به اینکه طراحی فیلترهای آنالوگ خارج از حیطه تخصصی ما می باشد، بنابراین از ذکر مطالب در مورد آن ها خودداری می کنیم. با این حال زمانی که نحوه طراحی فیلترهای دیجیتال را شرح می دهیم، پارمترهایی را که برای طراحی یک فیلتر مناسب باید در نظر گرفت ، نشان خواهیم داد.

نمونه برداری کردن
پس از آنکه سیگنال ورودی آماده شد و فیلترکردن آن نیز انجام پذیرفت، دیجیتال کردن سیگنال آنالوگ آغاز می شود. نمونه برداری بدین مفهوم است که در بازه های زمانی مشخص مقدار سیگنال ورودی را خوانده و برای چندی شدن به مرحله بعد انتقال دهیم. به عنوان مثال زمانی که می خواهیم در هر ثانیه 44000 نمونه از سیگنال ورودی برداریم، باید در بازه های زمانی 0.00002 ثانیه مقدار سیگنال آنالوگ را خوانده و به مرحله بعد منتقل کنیم. به عنوان مثال زمانی که در میکروفون صحبت می کنید، با فرض اینکه نرخ نمونه برداری 44000 نمونه در ثانیه باشد، سیستم دیجیتال کننده هر 0.00002 ثانیه یکبار ولتاز خروجی میکروفون را - که تقویت و فیلتر شده است - خوانده و مقدار آن را به چندی کننده ارسال می کند.

چندی کردن سیگنال
در مرحله نمونه برداری دیدیم که یک نمونه از سیگنال به شکل ولتاژ نمونه برداری شد. در این مرحله ولتاز نمونه برداری شده باید به شکل دیجیتالی ( عدد باینری ) تبدیل شود. برای این منظور نیز از مبدل های آنالوگ به دیجیتال استفاده می کنیم. به عنوان مثال یک مبدل انالوگ به دیجیتال 8 بیتی به ازای ورودی خود عددی بین 0 تا 255 تولید می کند. فرض کنید ورودی مبدل در بازه 0 تا 5 ولت باشد. این بدان معناست که به ازای ورودی 0 ولت ، خروجی مبدل عدد باینری 0 و به ازای ورودی 5 ولت خروجی مبدل عدد باینری 255 خواهد بود. بدیهی است که افزایش تعداد بیت های مبدل موجب افزایش دقت چندی شدن خواهد شد.

هیم اولیه در سیگنال
به جرات می توان گفت که مهمترین مفاهیم در پردازش سیگنال مفاهیم کانولوشن و فرکانس می باشد. به طوریکه مباحثی همچون طراحی فیلترهای دیجیتالی به شدت تحت تاثیر این مفاهیم هستند. در این بین مفهوم فرکانس برای اغلب دانشجویانی که در علوم مهندسی به غیراز مهندسی الکترونیک تحصیل کرده اند نامفهوم است. در این بخش سعی می کنیم مفاهیم مرتبط با حوزه فرکانس را به زبانی ساده شرح دهیم. مفهوم فرکانس در پردازش سیگنال ارتباط بسیار قوی با موج سینوسی دارد ( در مقاله مربوط به بسط فوریه علت این امر بیان شده است ). از اینرو همه مفاهیم مرتبط با حوزه فرکانس را بر روی موج سینوسی شرح می دهیم.

موج سینوسی
یک موج سینوسی که شکل آن در روبرو آمده است، با استفاده از رابطه زیر تعریف می گردد:

که در این رابطه A ، f ، t و... به ترتیب نشان دهنده دامنه ، فرکانس، زمان و فاز موج سینوسی هستند. شکل بالا نمودار موج سینوسی را نشان می دهد. در یک موج سینوسی دامنه ، شدت موج سینوسی را تعیین می کند. همچنین فرکانس نیز نشان دهنده تعداد دفعات تکرار موج سینوسی در واحد زمان است. جناب آقای زوزف فوریه در قرن 18 نشان دادند که همه سیگنال های موجود در جهان را می توان به شکل ترکیبی از امواج سینوسی نشان داد. سیگنال های صوتی نیز از این قائله مستثنی نیستند و هر سیگنال صوتی را می توان به امواج سینوسی تشکیل دهنده آن شکست. در این بخش قصد تفکیک سیگنال های به امواج سینوسی تشکیل دهنده آن را نداریم. بلکه می خواهیم نشان دهیم چگونه می توان با استفاده از امواج سینوسی ، به تولید صدا پرداخت.

برای ملموس تر شدن مفهوم موج سینوسی در اینجا به ارائه چند مثال با استفاده از MATLAB می پردازیم. دستورات زیر را به ترتیب در محیط MATLAB وارد کنید:

>> i = 1:44000;
>> w1 = sin( 2*pi * 500/44000 * i);
>> w2 = sin( 2*pi * 1000/44000 * i);
>> w11 =10* sin( 2*pi * 500/44000 * i);
>> w22 =10* sin( 2*pi * 1000/44000 * i);
>> wavplay(w1,44000);
>> wavplay(w2,44000);
>> wavplay(w11,44000);
>> wavplay(w22,44000);

دستور اول یک آرایه شامل مقادیر 1 تا 44000 تولید می کند که از این آرایه برای تولید موج سینوسی استفاده می کنیم. دستور دوم یک موج سینوسی با دامنه 1 و فرکانس 500 هرتز تولید می کند. دستور سوم نیز یک موج سینوسی با دامنه 1 و فرکانس 1000 هرتز ایجاد می کند. همانطور که در دستورات نیز مشاهده می کنید، w11 و w22 نیز موج های سینوسی با فرکانس 500 و 1000 هرتز تولید می کنند و تنها تفاوت آن ها با w1 و w2 در مقدار دامنه موج ها است.

زمانی که دستور wavplay را اجرا کنید، هریک از موج های تولید شده به شکل صوت از بلندگوی کامپیوتر شما خارج خواهند شد. از این چهار موج سینوسی می توان چنین نتیجه گرفت که 1) فرکانس موج سینوسی زیر و بم بودن صدا تعیین می کند و 2) دامنه موج سینوسی نیز بلندی صدای تولید شده را نشان می دهد. همانطور که شما نیز حدس می زنید برای ما مقدار فرکانس از اهمیت بیتشری نسبت به دامنه برخوردار است. نکته دیگری که در این تکه کد آن را مشاهده می کنید نحوه تولید موج سینوسی است. در ابتدا رابطه تولید یک موج سینوسی را نشان دادیم. با این حال زمانی که بخواهیم موج سینوسی را برای تولید صدا ایجاد کنیم، پارامتر دیگری نیز به این رابطه افزوده می شود:

که در این رابطه fs نشان دهنده این واقعیت است که در یک ثانیه چند عدد نمونه برداری باید انجام گیرد. در تکه کد بالا مقدار 44000 نشان می دهد که در یک ثانیه 44000 داده در فایل صوتی وجود دارد. نکته دیگر آن که ماکزیمم فرکانس قابل تولید با fs نمونه ، برابر با fs/2 خواهد بود. به عنوان مثال در تکه کد بالا ماکزیمم فرکانس قابل تولید با نرخ نمونه برداری 44000 در ثانیه برابر با 24 کیلوهرتز ( آستانه شنوایی انسان ) است. حال می توانید حدس یزنید که در نرم افزارهای صوتی، چرا فایل های با بیش از 44000 نرخ نمونه برداری نمی توان پیدا کرد!

هریک از موج های w1 ، w2 ، w11 و w22 به مدت 1 ثانیه از کارت صوتی پخش می شوند. این بدان دلیل است که تعداد نمونه هایی که برای هریک از آن ها تولید گردیده دقیقا 44000 نمونه است ( مقدار i که از 1 تا 44000 است ). در صورتی که بخواهید هریک از امواج فوق به مدت 2 ثانیه از کارت صوتی پخش شوند ، دستور اول را به صورت زیر تغییر دهید:

i = 1:88000;

به عنوان مثال می توانید موج های سینوسی مختلف با فرکانس های گوناگون و دامنه ها و مدت زمان های متفاوت تولید کرده و نتایج هریک را با دیگری مقایسه کنید ( در صورتی که کارت صوتی سیستم تان به آمپلی فایر متصل نیست، از تولید فرکانس های کمتر از 100 هرتز و موج های با دامنه بالا تا حد ممکن خودداری کنید. چرا که ممکن است به سیستم آسیب برساند).

سیگنال های DTMF
همگی با سیگنال هایی که به هنگام فشردن دکمه های تلفن از گوشی آن می شنویم آشنا هستیم. به این سیگنال های در اصطلاح سیگنال های DTMF گویند.در کل 12 سیگنال DTMF متفاوت بر روی صفحه کلید تلفن وجود دارد ( البته با احتساب حروف A ، B ، C و D تعداد کل سیگنال های DTMF 16 عدد می باشد). هریک از سیگنال های DTMF نیز از ترکیب دو موج سینوسی با فرکانس های مختلف تشکیل شده است. به عنوان مثال فشردن کلید 1 موجب تولید صدایی می شود که از ترکیب دو موج سینوسی با فرکانس های 697 هرتز و 1209 هرتز تشکیل شده است. جدول زیر فرکانس های تشکیل دهنده هر یک از 12 سیگنال DTMF را نشان می دهد:

سیگنال های A ، B ، C و D نیز با افزودن ستون 1633 هرتزی می توانند تولید شوند. در این فرآیند انتخاب فرکانس ها به گونه ای صورت گرفته است که 1) هیچ فرکانسی مضربی از فرکانس دیگر نیست 2) اختلاف هیچ دو فرکانسی برابر با مقدار فرکانس دیگری در جدول نیست و 3) جمع هیچ دو فرکانسی برابر با مقدار فرکانسی دیگری در جدول نیست ( کار مهندسی یعنی این! ). شکل موج هریک از این 12 سیگنال نیز در زیر آمده است(به همان ترتیبی که در جدول فوق نشان داده شده است) :

1477	1336	1209
			697
			770
			852
			941

تکه کد زیر نیز نحوه تولید سیگنال DTMF مربوط به کلید 1 را در محیط MATLAB نشان می دهد :

>> i= 1:44096;


>> wv1 = (0.5*sin(2*pi* (697/44096) * i)) + (0.5*sin(2*pi*
(1209/44096) * i));
>> wavplay(wv1,44096); 

دیگر سیگنال های DTMF نیز به همین ترتیب و تنها با تغییر دادن مقادیر فرکانس موج ها تولید می شوند. کار کردن بر روی سیگنال های DTMF می تواند تمرین بسیار خوبی برای افرادی باشد که تازه پا در دنیای سیگنال دیجیتال گذارده اند. به عنوان مثال می توانید سیگنالی را تولید کرده و یک نویز تصادفی به آن اضافه کنید. سپس با پخش صدا تاثیر نویز در خروجی را مشاهده کنید.

ترکیب ، تفکیک و انطباق ماهیت سیستم های خطی به گونه ای است که ترکیب سیگنال در آن ها تنها با تغییر مقیاس و جمع شدن امکان پذیر می باشد. در حقیقت سیگنالی که ما در خروجی یک سیستم خطی مشاهده می کنیم حاصل این عملیات است که به این عمل Synthesis می گوییم. عکس عمل سنتزینگ را نیز تفکیک کردن یا Decomposition می گوییم. تفکیک کردن به این معناست که سیگنال ورودی را به چندین سیگنال تفکیک کنیم، به گونه ای که از ترکیب همه این سیگنال ها سیگنال اصلی به وجود آید.

توجه به این نکته حائز اهمیت است که ترکیب چندین سیگنال همیشه موجب تولید یک سیگنال واحد می شود و این در حالی است که یک سیگنال را می توان به سیگنال های بیشماری تفکیک کرد. برای روشن شدن مطلب به این مثال توجه کنید. حاصل جمع عدد 3 و عدد 4 برابر با عدد 7 است ( 4+3=7 ) . جمع عدد 3 و 4 را ترکیب کردن دو عدد می گوییم. تفکیک کردن عدد 7 نیز به این معنا است که آن را به چند عدد بشکنیم به گونه ای از ترکیب مجدد آن اعداد، مقدار 7 به دست آید. به عنوان مثال عدد 7 را می توان به اعداد 1 ، 2 ،4 یا 3،2،2 یا 1،6 و... تفکیک کرد. شکل زیر مفهوم ترکیب و تفکیک را نشان می دهد.

ترکیب و تفکیک سیگنال دیجیتالی

حال که با مفهوم ترکیب و تفکیک آشنا شدیم، به بررسی بنیادی ترین مفهوم پردازش سیگنال یعنی اطباق می پردازیم. مفهوم انطباق به ما کمک می کند که درک صحیحی نسبت به سیگنال ها داشته و با دید بهتری بتوانیم به انالیز سیگنال های دیجیتالی بپردازیم. به عنوان مثال سیگنال نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید.

سیگنال x وارد سیستم خطی شده و در نتیجه آن سیگنال خروجی y تولید می گردد. همانطور که در این شکل نشان داده است، سیگنال ورودی را می توان به تعدادی سیگنال ورودی ساده تر تفکیک کرد ( در شکل این سیگنال ها با نام های مشخص گشته اند). سپس هریک از این سیگنال ها منحصرا وارد سیستم خطی شده و مجموعه سیگنال های خروجی را تولید می کنند (در شکل این سیگنال ها با نام های مشخص گشته اند). در نهایت سیگنال های خروجی با هم ترکیب شده وسیگنال خروجی y را تولید می کنند.

مهمترین بخش مفهوم انطباق در اینجا نهفته است. سیگنالی که از تفکیک کردن سیگنال ورودی به سیگنال های ساده تر ، گذراندن آن ها از سیستم خطی و درنهایت ترکیب ان ها به وجود می آید، درست همانند سیگنال است که از اعمال مستقیم سیستم خطی بر روی مستقیم سیگنال ورودی به وجود می آید. با وجود چنین نگرشی دیگر نیازی نیست بدانیم که یک سیگنال پیچیده چگونه توسط سیستم خطی تحت تاثیر قرار می گیرد. بلکه کافی است بدانیم که سیگنال های ساده تر چگونه توسط این سیستم خطی تغییر می یابند.

مفهوم انطباق را با یک مثال به پایان می بریم. فرض کنید می خواهید در ذهن خود عدد 2041 را در عدد 4 ضرب کنید. شما این کار را چگونه انجام می دهید؟ آیا در ذهن خود 2041 تا مداد در نظر می گیرید ،

سپس آن را چهار برابر کرده و شروع به شمردن مدادها در ذهن خود می کنید؟ قطعا چنین عملی را انجام نمی دهیم. بلکه ما نیز در اینجا به طور خودکار از عمل انطباق استفاده می کنیم. بدین معنی که ابتدا عدد 2041 را به سه عدد ساده تر ساده تر 1 + 40 + 2000 تفکیک کرده و سپس هریک از این سه مولفه را در عدد 4 ضرب می کنیم. درنهایت نیز نتایج به دست آمده را باهم جمع می کنیم. به عبارت دیگر 4 + 160 + 8000 = 8164. یک فرد خبره در پردازش سیگنال نیز هنگام کار کردن بر روی سیگنال های دیجیتالی سعی می کند با چنین نگرشی به یک سیگنال پیچیده نگاه کند.

سخ ضربه یک سیگنال دیجیتالیهنگام بررسی مفهوم ترکیب و تفکیک دیدیم که یک سیگنال دیجیتالی را چگونه می توان به سیگنال های ساده تر تفکیک کرد و یا چگونه سیگنال های تفکیک شده را باهم ترکیب کنیم. یکی از مهمترین روش های تفکیک سیگنال های دیجیتالی در حوزه زمانی ، تفکیک ضربه ای است (در حوزه زمانی محور افقی نشان دهنده زمان / مکان و محور عمودی برابر با مقدار سیگنال در آن زمان/مکان می باشد).

در یک سیگنال ضربه همه مقادیر به جز یکی از آن ها صفر است. در حقیقت تفکیک ضربه ای ، یک سیگنال با N نمونه را به N سیگنال ضربه ای تفکیک می کند. تفکیک ضربه ای از این جهت دارای اهمیت است که با استفاده از آن در هر لحظه می توان تنها به بررسی یک مولفه از سیگنال ورودی پرداخت. دانستن پاسخ سیستم به یک سیگنال ضربه ای موجب می شود که بتوانیم خروجی نهایی سیستم را به ازای هر سیگنال ورودی محاسبه کنیم. برای این منظور نیز از عملگری به نام کانولوشن استفاده می کنیم که در مقاله های بعدی به بررسی آن پرداخته ایم. شکل زیر نحوه تفکیک سیگنال ورودی به سیگنال های ضربه را نشان می دهد:

در مقاله ترکیب و تفکیک نشان دادیم که برای ضرب کردن عدد 2041 در عدد 4 می توانیم ابتدا عدد 2041 را به سه عدد 1+40+2000=2041 تفکیک کنیم ، سپس هریک ازاین اعداد را در عدد چهار ضرب کرده و با ترکیب آن ها نتیجه نهایی را به دست آوریم. به عبارت دیگر :

8164 = 1*4 + 40 * 4 + 2000 * 4 = ( 1 + 40 + 2000 ) * 4 = 2041 * 4

در اینجا نیز پس از آنکه سیگنال ورودی به سیگنال های ضربه تفکیک شد، می توانیم تک تک آن ها را وارد سیستم کرده و خروجی همه آن ها را به دست آوریم. سپس با ترکیب همه خروجی ها نتیجه نهایی به دست می آید( منظور از ترکیب سیگنال همان جمع برداری سینگنال ها می باشد). به عبارت دیگر در این روش پس از انکه سیگنال ورودی با N نمونه را به N سیگنال ضربه ای تفکیک کردیم ، هریک از این سیگنال های ضربه را وارد

سیستم کرده و خروجی سیستم به ازای ورودی ضربه را به دست می آوریم . در نهایت با جمع برداری همه سیگنال ها می توانیم پاسخ نهایی سیستم برای سیگنال ورودی را محاسبه کنیم.

می توان نتیجه گرفت که منظور از پاسخ ضربه یک سیستم ، خروجی سیستم به ازای ورودی ضربه می باشد. فرض کنید پاسخ ضربه سیستم به سیگنال ورودی همانند شکل روبرو باشد. این بدان معناست که با ورود یک سیگنال ضربه به سیستم ، سیگنال خروجی شکلی

همانند این شکل خواهد داشت. در مقاله پاسخ ضربه این بحث را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد. تکه کد زیر در محیط MATLAB برای تفکیک یک سیگنال به سیگنال های ضربه می تواند بکار رود:

function dec = impulseDecompose(signal)
     sz = size(signal);
     dec = zeros(sz(2),sz(2));
     for i= 1:sz(2)
          dec(i,i) = signal(i);
     end
end

ع دلتا و پاسخ ضربه
در مقاله مربوطه به تفکیک ضربه ای سیگنال نشان دادیم که یک سیگنال دیجیتالی را می توان به مجموعه ای از سیگنال های ضربه تفکیک کرد. قبل از آن که به بررسی نحوه اعمال یک سیستم خطی بر روی سیگنال دیجیتالی بپردازیم دو تعریف پایه ای در خصوص سیگنال های دیجیتالی را بررسی می کنیم.

تعریف اول تابع دلتا می باشد که آن را با نماد یونانی δ نشان می دهیم. همانطور که در شکل نیز مشاهده می کنید تابع به جز در x=0 که دارای مقدار به خصوصی است، در بقیه نقاط مقداری برابر با صفر دارد. برای کاربرد ما در پردازش سیگنال ، تابع دلتا در نقطه x=0 مقداری برابر 1 خواهد داشت. به همین دلیل تابع دلتا را تابع ضربه واحد نیز می نامیم.

تعریف دوم مفهوم پاسخ ضربه می باشد. همانطور که از اسم آن پیداست پاسخ ضربه ، سیگنال خروجی سیستم است زمانی که ورودی آن تابع ضربه واحد ( دلتا ) باشد. نکته حاأز اهمیت این است که دو سیستم متفاوت ، پاسخ های ضربه متفاوتی نیز خواهند داشت. شکل روبرو پاسخ ضربه یک سیستم را نشان می دهد (در ادامه این بخش پاسخ ضربه سیستم را با h نشان می دهیم).

سبگنال ضربه a را در نظر بگیرید که در همه نقاط به جز x=8،سیگنال مقداری برابر با صفر دارد. همچنین

مقدار سیگنال در x=8 نیز برابر با عدد 3- است. به عبارت دیگر می توان نوشت :

F(x) = 0 x <> 8
-3 x = 8

رابطه زیر نشان می دهد که چگونه می توان سیگنال مذکور را به شکل یک سیگنال دلتا نشان داد :

F(x) = -3 δ(x-8)

یعنی ابتدا سیگنال دلتا را 8 واحد در جهت مثبت محور xها انتقال داده و سپس اندازه آن را 3- برابر کردیم. هر سیگنال ضربه را می توان با استفاده از همین روش به صورت یک تابع دلتا نشان داد. در ابتدای مقاله تعریف کریدم که منظور از پاسخ ضربه همان خروجی سیستم به ازای ورودی ضربه واحد (دلتا) می باشد. حال این سوال مطرح می گردد که اگر ورودی سیستم تابعی همانند:-3δ(x-8) باشد، خروجی سیستم خطی چگونه خواهد بود. یکی از خصوصیات سیستم های خطی این است که هرگونه انتقال و تغییر مقیاس در ورودی موجب همان اندازه انتقال و تغییر اندازه در خروجی خواهد بود. این بدان معنی است که اگر یک سیستم خطی به ازای ورودی δ خروجی h را تولید می کند به ازای وروردی:-3δ(x-8) نیز خروجی: -3h(x-8) را تولید خواهد کرد. به عبارت دیگر پاسخ ضربه نیز به همان اندازه در خروجی انتقال یافته و تغییر مقیاس می دهد. نتیجه اینکه اگر پاسخ ضربه یک سیستم را بدانیم به راحتی می توان خروجی سیستم به ازای هر سیگنال ضربه را به دست آوریم.

کانولوشن
در دومقاله قبلی نشان دادیم که چگونه می توان یک سیگنال دیجیتالی را با استفاده از سیگنال های ضربه تفکیک کرد. سپس مفهوم پاسخ ضربه را بررسی کردیم و دیدیم که هرگونه انتقال و تغییر مقیاس در ورودی موجب همان اندازه انتقال و تغییر مقیاس در خروجی خواهد شد. در این مقاله می خواهیم در عمل نشان دهیم که چگونه می توان با در دست داشتن پاسخ ضربه یک سیستم، خروجی آن سیستم را به ازای هر سیگنال ورودی محاسبه کرد. برای این منظور نیز از عملگری به نام عملگر کانولوشن استفاده خواهیم کرد. همانطور که می دانید هر سیگنال را می توان به شکل یک بردار تصور کرد. با دانستن این نکته می توان حدس زد که منظور از جمع/تفریق دو سیگنا

پردازش سیگنال

مطالب مشابه :