توابع نمایی در ریاضی

کشف لگاریتم:

مقدمه

نظريه ها و قاعده هاي رياضي، با کشف خود «هستي» پيدا مي کنند، آن ها تنها وجود دارند و اغلب بدون کاربردند. دير يا زود، و گاهي بعد از صدها و هزارها سال، اين موجودات رياضي به «صفت» تبديل مي شوند و کاربرد خود را در زندگي و عمل، در ساير دانش ها، در صنعت و هنر پيدا مي کنند.

«اويلر»

شايد کسي فکر نمي کرد لگاريتمي که در رابطه با نياز محاسبات عملي کشف شد در آينده کاربردهاي وسيعي پيدا کند.

با ورود لگاريتم به دنياي رياضيات و آشنا شدن مردم و دانشمندان با آن، اين شاخه کاربردهاي زيادي را در زندگي روزمره پيدا کرد. چنانکه امروزه لگاريتم در حسابداري و در تعيين بهره ي مرکب و نيز مسائل مالي کاربرد فراواني يافته است. همان زمان که لگاريتم اختراع شده بود اويلر رابطه ي بين عدد e و بهره ي مرکب را دريافت و فهميد که حد بهره به سمت عددي متناسب (يا مساوي در شرايط خاص) ، که همان عدد e است ميل مي کند. همچنين از لگاريتم در مدلسازي و بازار يابي سهمي استفاده مي شود. مدلسازي ايجاد الگو و تمثيلي براي تجسم واقعيت هاي خارجي است که در مسائل مربوط به رياضيات و حسابداري کاربرد دارد

لگاريتم

به توان رساندن داراي 2 عمل معکوس مي باشد. اگر a=c در اين صورت پيدا نمودن a يعني استخراج ريشه يکي از دو عمل معکوس مي باشد و پيدا نمودن b يعني لگاريتم گيري عمل معکوس ديگر است.

لگاريتم به چه منظوري اختراع شده است؟

بديهي است که تا نياز به چيزي احساس نشود آن چيز کشف و اختراع نمي گردد، در واقع هرکدام از علومي که با آن روبه رو هستيم هريک به مقتضاي نيازي و با توجه به هدف خاصي پيکر بندي شده اند.

لگاريتم نيز با توجه به محاسبه هاي طولاني و ملال آوري که دانشمندان سده هاي شانزدهم و هفدهم ميلادي با آن سر و کار داشتند، بوجود آمد. اين محاسبه ها وقت و نيروي زيادي را از دانشمندان تلف مي کرد و هميشه دانشمندان در ذهن داشتند که چطور مي شود بدون انجام چنين محاسبات پيچيده و دشواري و آن هم در کمترين زمان ممکن به جواب مطلوب دست يابند. گفته مي شود که حتي در قرن هشتم هندي ها با محاسبات مربوط به لگاريتم آشنايي داشتند اما اين کلمه و مفهوم مربوط مي شود به قرن شانزدهم .جدول هايي نيز در اين زمينه بوجود آمد و شايد همين تلاش ها و نيازها بود که سر انجام به کشف لگاريتم انجاميد تا آن جا که دو دانشمند به طور همزمان و بدون اينکه از کار يکديگر آگاه باشند موفق به کسب چنين افتخاري گشتند اولي جان نپر و ديگري بورگي.

اما اصطلاح لگاريتم نشات گرفته از فعاليت هاي نپر است که از واژه ي يوناني «لوگوس» به معني نسبت و «ارتيوس» به معني عدد گرفته شده است. او همچنين بجاي لگاريتم از اصطلاح عدد ساختگي نيز استفاده مي کرد. نپر چکيده ي کارهاي خود را در کتابي با عنوان «شرح جدول هاي عجيب لگاريتمي» چاپ کرد و به دنيا نماياند.

عدد e (مبناي لگاريتم طبيعي) نيز در چنين سال هايي چشم به جهان و جهانيان گشود. گفته مي شود کاشف عددe آن گونه که برخي مي پندارنداويلر نبوده است بلکه خود نپر بحث مربوط به لگاريتم طبيعي و عدد e را در يکي از نوشته هايش پيش کشيده است.

بعد از آشکار شدن لگاريتم به جهانيان ابزارهايي براي آسانتر کردن محاسبات لگاريتمي کشف شد که از آن جمله مي توان به خط کش لگاريتمي ساخته ي گونتر انگليسي اشاره نمود. امروزه نيز با استفاده از ماشين حساب و با فشردن يک کليد ميتوان عمل لگاريتم گرفتن را به آساني و سرعت انجام داد.

نپر مخترع اولين جدول هاي لگاريتم درباره ي انگيزه ي خود چنين مي گويد :« تا جايي که مي توانستم کوشيدم تا از مشکلات و خستگي مربوط به محاسبات که کسالت و دلتنگي ناشي از آن عده ي زيادي را از مطالعه ي رياضي مي ترساند رهايي يابم »

حقيقتاً لگاريتم علاوه بر اينکه امکان مي دهد عملياتي را اجراء نماييم که بدون کمک لگاريتم به اشکال زياد بر مي خورد ( مثلاً استخراج ريشه ي درجه ي دلخواه ) محاسبات را فوق العاده آسان و سريع مي سازد.

شايد هيچوقت نپر فکر نمي کرد که جدول هايي را که براي ساده کردن محاسبات طولاني تنظيم کرد، جرقه اي اين چنين را در رياضيات ايجاد کند.

اين گفته ي لاپلاس بي اساس نيست که مي گويد :« اختراع لگاريتم کار محاسبه ي چند ماهه را تا چند روزه کوتاه ساخته گويا که عمر منجمين را دو چندان مي سازد.»

لاپلاس، اين رياضي دان بزرگ درباره ي منجمان صحبت مي نمايد زيرا آنها با محاسبات بخصوص پيچيده و خسته کننده روبرو مي شوند. شايد او نمي دانست که نه تنها طول زندگي اخترشناسان بلکه دريانوردان، بازرگانان، موسيقيدانان، شيميدانان، رياضيدانان، زمين شناسان و حتي همه ي انسان هاي کره ي زمين را چند برابر کرد.

ما که به استفاده از لگاريتم و آساني برآورد ها که از آن ناشي مي شود عادت کرده ايم به سختي مي توانيم آن وجد و شگفتي را که پيدايش لگاريتم باعث شد در نظر مجسم کنيم.

بريگس يکي از معاصران نپر که بعداً به اختراع لگاريتم اعشاري شهرت يافت پس از دريافت رساله ي نپر نوشته بود :« نپر با لگاريتم هاي نو و عجيب خود مرا مجبور ساخت به شدت با کله و دست کار کنم. اميدوارم که در فصل تابستان او را ببينم زيرا هيچ گاه کتابي نخوانده ام که بيشتر مورد پسند من قرار گرفته و مرا متحير ساخته باشد.»

بريگس تصميم خود را عملي ساخته و به اسکاتلند رفت تا مخترع لگاريتم را ملاقات کند در اثناي ملاقات بريگس گفت :« من اين سفر دور و دراز را تنها به يک منظور متحمل شدم آن اينکه شما را ببينم و آگاه شوم که به کمک کدام ابزار تيز هوشي و هنر، شما به فکر لگاريتم، اين ممد کار عالي منجمان دست يافتيد. با وجود اين من حالا بيشتر از آن جهت تعجب مي کنم که چرا هيچ کس قبلاً آن را پيدا نکرد زيرا اکنون که از آن اطلاع حاصل کردم فوق العاده ساده به نظر مي رسد.»

لازم به ذکر است که نخستين لگاريتم هاي اعشاري باتلاش رياضي دان اهل لندن، يعني هنري بريگس تدوين شد و 14 رقمي بود. چند سال بعد جداول 10 رقمي آندريان ولاک رياضي دان هلندي جاي آنها را گرفت.

تابع نمایی

تابع نمایی تابعی در ریاضیات است. معمولا این تابع به صورت ‎exp(x)‎ یا برابر آن ex نوشته می‌شود. که e عددی ثابت برابر عدد اویلر یا به طور تقریبی برابر ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ می‌باشد. البته می‌توان این تابع را به صورت ax نیز تعریف کرد، استفاده از الگوریتم نشان می‌دهد که:

این تابع را تابع نمایی با پایه a می‌خوانیم که a نیز عددی ثابت است. در بسیاری علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود منظور تابع kax می‌باشد، که a را پایه می‌نامند. در این صورت a عددی ثابت و مثبت است.

عموماً متغیر x می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد و یا حتی می‌تواند شئ ریاضی کاملاً متفاوتی اختیار کند.

تابع لگاریتم

مقدمه

در جبر عموما لگاریتم معمولی یا لگاریتم در پایه 10 عدد b را توانی تعریف می‌کنند که 10 باید به آن برسد تا b بدست آید: . فرض کنیم چنین عددی موجود بوده و از لگاریتم‌ها برای ساده‌کردن ضرب اعدادی که ارقام اعشاری زیادی دارند استفاده می‌کنیم.

تعریف

تابع لگاریتم طبیعی بصورت زیر نمایش داده می‌شود:

به ازای هر x بزرگتر از 1 ، این انتگرال مساحت ناحیه‌ای را نشان می‌دهد که از بالا به خم از پایین به محور t از طرف چپ به خط t=1 ، و از طرف راست به خط t=x محدود است.

تاریخچه

در اواخر قرن شانزدهم یک بارون اسکاتلندی به نام جان نپر (1550-1617) ابزاری بنام لگاریتم ابداع کرد که با تبدیل ضرب به جمع کار محاسبه را ساده می‌کند؛ یعنی داریم:

لگاریتم x + لگاریتم a = لگاریتم ax

برای ضرب دو عدد مثبت x,a از یک جدول ، لگاریتم‌های x,a را پیدا می‌کنیم، سپس این لگاریتم‌ها را بهم می‌افزائیم مجموع حاصل را در داخل جدول می‌یابیم، و بالاخره حاصلضرب مطلوب ax را از حاشیه جدول می‌خوانیم. مسلما در دست داشتن جدول کلید کار بود، به همین سبب نپر در دو دهه آخر زندگی‌اش را صرف تهیه جدولی کرد که هیچگاه نتوانست آن را تمام کند. و این در حالی بود که تیکو براهه ستاره شناس ، مشتاقانه در انتظار این جدول بود تا می‌تواند محاسبات خودش را تسریع بخشد

مشتق تابع لگاریتم طبیعی

چون تابع با انتگرال ذکر شده در قسمت تعریف ، تعریف می‌شود، فورا از نخستین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال نتیجه می‌شود که مشتق تابع برابر خواهد بود. بنابراین اگر u تابع مشتقپذیری از x باشد، آنگاه از قاعده زنجیری داریم:

فرمول کلیتر زیر بدست می‌آید:

مشتقگیری لگاریتمی

گاهی یک تابع با معادله‌ای پیچیده داده شده با گرفتن لگاریتم از طرفین آن پیش از مشتقگیری می‌توان مشتقش را سریع‌تر حساب کرد.

خواص

قلمرو: مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت ، x>0

برد: مجموعه تمام اعداد حقیقی

این تابع بر قلمرو خود پیوسته و صعودی است هر گاه آنگاه . این تابع یک تابع یک‌به‌یک از قلمرو خود به بردش است، بنابراین دارای معکوس است.

حاصلضرب ، خارج قسمت و توان: هر گاه x,a دو عدد مثبت باشند. آنگاه:

معکوس تابع لگاریتم

چون یک‌به‌یک و مشتقپذیر است، دارای معکوس مشتقپذیر می‌باشد نمودار منعکس نمودار تابع نسبت به خط y=x است. این نمودار تابع نیز می‌باشد. تابع به ازای هر عدد حقیقی x مساوی می‌باشد. تابع حاصل تابع مشتق پذیری از x است که به ازای هر x حقیقی تعریف شده است و بعنوان تابع نمایی از آن یاد می‌شود که e را پایه و x نما خوانده می‌شود. همچنین توجه می‌کنیم که حد تابع نمایی زمانی که x بسمت بی‌نهایت میل می‌کند برابر بی‌نهایت است و زمانی که x بسمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند این حد برابر صفر می‌شود.

معادلات شامل

چون این دو تابع معکوس یکدیگرند، به ازای هر داریم:
و به ازای هر x:

تابع میزان‌های نسبی رشد توابع

تعریف

وقتی a عدد مثبتی غیر از یک باشد. تابع مشتق‌پذیر و یک‌به‌یک است. لذا معکوس مشتقپذیر دارد که ما آن را لگاریتم x در پایه a نامیده و با نشان می‌دهیم.
چون دو تابع ذکر شده در قسمت معکوس یکدیگرند بنابراین ترکیب آنها با هر ترتیبی تابع همانی می‌شود.
توجه می‌کنیم که لگاریتم x نمایی است که وقتی پایه به این نما می‌رسد x بدست می‌آید.

محاسبه

عدد را همیشه می‌توان از لگاریتم‌های طبیعی x,a با فرمول زیر حساب کرد:

خواص

خواص زیر مشابه خواص است و به آنی بدست می‌آید:

تبصره در باب نمادگذاری

در بسیاری از کتب پیشرفته و مقالات تحقیقی در ریاضی از ، بدون ذکر پایه برای نمایش طبیعی استفاده شده است. در بسیاری از کتب علوم طبیعی برای نمایش بکار رفته است. لگاریتم در پایه 10 اغلب لگاریتم معمولی نامیده می‌شوند.

کاربردها

ابداع لگاریتم در قرن شانزدهم و هفدهم بزرگترین پیشرفت در حساب بوده است و قبل از اختراع کامپیوتر از مهم‌ترین ابداعات بحساب می‌آید. لگاریتم‌ها حساب دریانوردی را سامان بخشید. کاربرد آن را در علوم و مهندسی و همچنین نجوم نباید انکار کرد. بدین ترتیب که محاسبات اعشاری در نجوم ، دریانوردی و مثلثات را ممکن ساخت.

لگاریتم‌های معمولی اغلب در فرمول‌های علمی بکار می‌روند مثلا: شدت زلزله بر حسب ریشتر توسط فرمول زیر بدست می‌آید:

اندازه R

که در آن a دامنه حرکت زمین به میکرون در ایستگاه گیرنده و T دوره تناوب موج زلزله به ثانیه و B عاملی تجربی است که با افزایش فاصله از مرکز زلزله موجب تضعیف موج زلزله می‌شود.

یکی دیگر از موارد استعمال لگاریتم‌های معمولی عبارتند از واحد دسیبل برای سنجش شدت صوت.

اندازه‌گیری واحد PH برای سنجش اسیدی بودن.

تابع به ازای هر عدد حقیقی x ، به صورت می‌باشد. یا می‌توان گفت که معکوس تابع لگاریتم طبیعی همان تابع نمایی است. تابع را اغلب تابع نمایی با پایه e و نمای x می‌نامند. نمادی دیگر برای ، است که اکسپوتانسیل x خوانده می شود.

عدد e

چون از 1 کمتر و از 1 بیشتر است، طبق قضیه مقدار میانگین عددی بین 2 و 4 وجود دارد که لگاریتمش برابر با 1 است. چون یک به یک است، این عدد یکتاست، و با جرف e نمایش داده می شود. اویلر که در اوایل قرن هیجدهم درباره این عدد مطلبی نوشته، آن را با حرف اول نام خودش نمایش داده است. پس

با انجام محاسبات لازم مقدار e به صورت زیر بدست آمده است:
e=2.7182182

مشتق

تابع مشتق پذیر است، زیرا معکوس تابع مشتق پذیری است که مشتق آن هرگز صفر نمی‌شود. برای محاسبه مشتق از دو طرف لگاریتم می‌گیریم و سپس مشتق ضمنی نسبت به x را بدست می‌آوریم که حاصل به صورت زیر است:

تابع در اثر مشتق‌گیری تغییر نمی‌کند؛ این تابع فناناپذیر است. هر چند بار از آن مشتق بگیریم تغییر نمی‌کند. از این بابت تابع نمایی شبیه داستان مریدی است که از مرادش پرسید چه چیز زمین را نگه می‌دارد? پاسخ این بود که یک فیل زمین را نگه می‌دارد، و مرید طبیعتا می‌خواست بداند که چیز فیل را نگه می‌دارد. مراد لحظه‌ای مکث کرد و گفت فیل ، فیل ، باز هم فیل. حتی اگر از قبل نمی‌دانستیم، می‌توانستیم تعیین کنیم که ، تابعی است صعودی از x ، زیرا مشتق آن مثبت است.

انتگرال

تابع در اثر انتگرال‌گیری نیز تغییر نمی‌کند یعنی انتگرال آن به صورت زیر است:

ویژگیهای تابع نمایی

تابع نمایی معکوس تابع لگاریتم طبیعی است؛ یعنی ،

دامنه: مجموعه تمام اعداد حقیقی

برد: مجموعه تمام اعداد مثبت.

مشتق تابع نمایی برابر خودش است.

تابعی است پیوسته (زیرا مشتق پذیر است) و صعودی از x.

انتگرال تابع نمایی برابر خود تابع نمایی یعنی است.

برای حذف لگاریتم از یک رابطه، دو طرف را نمایی کنید و برای حذف پایه های e، از دو طرف لگاریتم بگیرید.

روابط موجود میان تابع و

چون و معکوس یکدیگرند، پس داریم:

به ازای هر x>0 داریم:

به ازای تمام x ها داریم:

کاربردهای تابع نمایی

قانون تغییر نمایی

در بسیاری از پدیده‌های مربوط به فیزیک ، زیست شناسی ، محیط زیست و اقتصاد کمیتی چون y در هر زمان مفروض t با آهنگی رشد می‌کند یا زوال می‌یابد که متناسب است با مقدار کمیت موجود. همان قانون تغیر نمایی است که در آن مقدار y در لحظه t=0 و k ثابتی است که هر گاه y افزایش یابد مثبت ، و هرگاه کاهش یابد منفی است. می‌توان از این قانون برای محاسبه رشد سلول ، آهنگ تولد و رشد جمعیت نیز استفاده کرد.

سودی که بطور پیوسته محاسبه می‌شود

اگر مبلغ را با نرخ سالانه ، پس انداز کنید درآمدهای حاصل به صورت زیر محاسبه می‌شود:

فرمول حاصل را که نشان دهنده مقدار پول موجود در حساب شما پس از t سال است، فرمول سود پیوسته می‌نامند و می‌گویند سود پرداختی طبق این فرمول بطور پیوسته حساب شده است.

رادیواکتیویته

وقتی یک اتم رادیواکتیو مقداری از جرمش را به صورت پرتو منتشر می‌کند، باقیمانده اتم تغییر شکل می‌یابد و ماده جدیدی بوجود می‌آید. این فرآیند تابش و تغییر را واپاشی رادیواکتیو می‌نامند، و عنصری که اتمهایش خود به خود به انجام دادن این فرآیند می‌پردازد، رادیواکتیو نام دارد. تجربه نشان داده است که در هر لحظه ، آهنگ واپاشی یک عنصر رادیواکتیو (تعداد هسته‌هایی که در واحد زمان تغییر می‌کنند) تقریبا متناسب است با تعداد هسته‌های رادیواکتیو موجود. تعداد هسته‌های رادیواکتیو موجود در زمان t برابر است با:

که در آن تعداد موجود در زمان صفر است.

قانون سرمایش نیوتن

وقتی مایعی داغ را در یک فنجان نازک می‌ریزیم، مایع سرد می‌شود تا آنجا که دمایش با دمای محیط اطراف یکی شود. در این گونه موارد ، آهنگ تغییر دمای جسم تقریبا با اختلاف بین دمای جسم و دمای محیط اطراف آن متناسب است. این قاعده گرچه در مورد گرم شدن هم کاربرد دارد، قانون سرمایش نیوتن نام دارد. این قانون را با روش زیر می‌توان به صورت یک معادله نوشت:

که در آن T دمای جسم ، دمای محیط اطراف آن و مقدار T در زمان صفر است.

معکوس تابع y = ln x را تابع نمایی گوئیم. که موارد استفاده زیادی در ریاضیات دارد.

تعریف

تابع به ازای هر عدد حقیقی x ، تابع را تابع نمایی با پایه e و نمای x می‌نامند. نمادی دیگر برای ، است که "اکسپوتانسیل x" خوانده می‌شود. نمودار را می‌توان با پیداکردن قرینه y=ln x نسبت به خط y=x بدست آورد. نمودار همان نمودار x = ln y است. باید دقت داشته باشیم که چون و y = ln x معکوس یکدیگرند آنگاه به ازای هر x بزرگتر از صفر: تابع در اثر مشتق‌گیری تغییر نمی‌کند؛ این تابع فنا ناپذیر است. این تابع تابعی است صعودی زیرا مشتق آن مثبت است.

ویژگی‌های

تابع نمایی معکوس تابع لگاریتم طبیعی y = ln x است.

دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.

بردش تمام اعداد مثبت.

مشتقش همواره با خودش برابر است. و توابعی است پیوسته و صعودی از x.

تابع‌های .

اگر α یک عدد مثبت و x هر عدد دلخواهی باشد، تابع را با معادله زیر تعریف می‌کنیم:

ویژگی‌های تابع

اگر a یک عدد حقیقی مثبت باشد و آنگاه تابع دارای ویژگی‌های زیر است:

دامنه: مجموعه اعداد حقیقی

برد: مجموعه همه اعداد حقیقی مثبت: y>0

مشتق آن عبارت است از

پیوسته است (زیرا مشتق‌پذیر است)؛ صعودی است هر گاه a>1. نزولی است هر گاه 0 < a <1 و در هرحالت یک‌به‌یک است.

توابع لگاریتمی

در قسمت قبلی اشاره کردیم که لگاریتم طبیعی یکی از توابع لگاریتمی است که معکوس تابع‌نمایی است. پس بقیه کدام‌ها هستند؟ بقیه این توابع معکوس‌های توابع نمایی هستند. این معکوس‌ها در علوم و مهندسی کاربردهای بسیاری دارند.

کاربردهای توابع نمایی و لگاریتمی

در بسیاری از پدیده‌های مربوط به فیزیک ، زیست‌شناسی – محیط زیست و اقتصاد کمیتی چون y در هر زمان مفروض t با آهنگی رشد می‌کند یا زوال می‌یابد که متناسب است با مقدار کمیت موجود. این مطلب به معادله منجر می‌شود که k ثابتی است که هرگاه y افزایش یابد، مثبت و هرگاه کاهش یابد منفی است. یا سودی که بطور پیوسته محاسبه می‌شود. یا محاسبه نیمه‌عمر یک رادیواکتیو - قانون سرمایش نیوتن.

یکی از جواب‌های تابع نمایی است که یکی از توابع موسوم به توابع متعالی است. و بطور کلی علاوه بر توابع نمایی توابعی چون توابع لگاریتمی ، شش تابع مثلثاتی ، توابع معکوس مثلثاتی نیز متعالی می‌باشند. نام متعالی را اویلر برای توصیف اعدادی انتحاب کرد که ریشه یک معادله چندجمله‌ای نیستند. اویلر می‌گوید که این اعداد "متعالی‌تر از آن‌اند که روش‌های جبری در موردشان کارساز باشد.

تعریف تابع لگاریتمی طبیعی

تابع لگاریتم طبیعی y=ln x ،

به ازای هر x بزرگتر از 1 ، این انتگرال مساحت ناحیه‌ای را نشان می‌دهد که از بالا به خم از پایین به محور t از طرف چپ به خط t=1 و از طرف راست به خط t=x محدود است. در اواخر قرن شانزدهم ، یک بارون اسکاتلندی بنام جان‌نپر ابزاری بنام لگاریتم ابداع کرد که با تبدیل ضرب به جمع کار محاسبه را ساده می‌کند. که این کار محاسبات اعشاری در نجوم ، دریانوردی و مثلثات را ممکن ساخت. گاه می‌توان مشتق تابعی را که با یک معادله پیچیده داده شده است با گرفتن لگاریتم از دو طرف معادله قبل از عمل مشتق‌گیری سریعتر محاسبه کرد. این فرآیند را مشتق‌گیری لگاریتمی می‌نامیم.

ویژگی‌های y=ln x

دامنه: مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت x>0

برد: مجموعه تمام اعداد حقیقی ،

در هر نقطه از دامنه‌اش تابعی پیوسته و صعودی است.

دارای معکوس است.

حاصل‌ضرب ، خارج‌قسمت و توان: اگر x,a دو عدد مثبت باشند آنگاه:

ln ax = ln a + ln x

جدول انتگرال توابع نمایی:

بطوریکه:

منابع:

forum.patoghu.com/thread53664.html

bijandi.parsiblog.com/562735.htm

www.tebyan.net/.../2/2/84480.html

http://fa.wikipedia.org

توابع نمایی در ریاضی

مطالب مشابه :

لگاریتم

تابع لگاریتمی

لگاریتم (2)

لگاريتم

لگاریتم طبیعی

عدد نپر

توابع نمایی در ریاضی